Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
х' = \-x + 0-y + 0-z, у' = 0-х—I -y-\-0-z, z' = О-х + О-г/— I -г.
Шпур (характер) этого преобразования (так же как и для двух других Cl) равен —I в согласии с табл. III.2. Легко проверить, что функции X, у, г осуществляют правильные значения всех характеров для Г15.
Проверим еще, что для представления Г25 базисные функции
^1 = Xy, ty2 = xz, Op3 = г/г. Например, для C3=R12(Zxy) имеем ^12^1 = 0-^-1.^ + 0-?, ^1^ = 0-^ + 0.? +1-^3, ^iA= -l-ti + O-^ + O-alv
Шпур этого преобразования (так же как для остальных C3) равен нулю в согласии с таблицей характеров. Нетрудно показать, что приведенные выше три функции дают все характеры представления Г26.
Действуя таким образом., мы можем составить табл. IV.3 полиномов наинизшей степени (без нормировочного множителя и при условии X2+ J/2+ Z2 = T2 = COnst= 1), определяющих сим- 250 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
метрию базисных функций для всех неприводимых представлений группы Ofi1).
Таблица IV.3
T1 1;
г2 X4 (у2 — г2) + у4 (г2—х2) + г4 (л;2—у2);
T12 ^2-V2 (х2 + у2), х2—у2;
г;5 ху (х2—у2), yz(y2 — z2), ZX (z2—x2);
Г25 ху, yz, ZX-,
г; хуг [Xі (у2 —z2) ^y4 (Z2-X2)J-Z4 (х2—у2))\
г2' хуг,
Г» хуг [г2 (х2 -]-у2)], хуг(х2-у2);
Г'и х,у, г;
T25 г (x2 — iі2), х(у2 — г2), у (Z2-X2).
2. В гл. I, § 2, п. 5 мы уже упоминали, что соединение сурьмянистого индия (InSb) кристаллизуется в алмазоподобной решетке, которую можно представить себе как две гранецентри-рованные кубические решетки (одна из атомов In, другая — из атомов Sb), сдвинутые друг относительно друга вдоль объемной диагонали куба на V4 ее длины. InSb не обладает несобственными элементами симметрии, как германий, у которого все узлы заняты одинаковыми атомами, поэтому он описывается симморф-ной пространственной группой Т%.
*) У читателя может возникнуть вопрос, как находятся базисные функции в общем случае. Для определения базисных функций существует весьма громоздкий метод проекционных операторов (который мы не излагали). Р. Нокс и А. Голд (Симметрия в твердом теле.— M., 1970, с. 42) по этому поводу пишут: «У него (т. е. читателя, А. А.) может даже сложиться впечатление (почерпнутое из литературы), что базисные функции находят либо по догалке, либо если повезет, либо, наконец, с помощью черной магии». $8]
СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
251
Первой зоной Бриллюэна для решетки гранецентрированного куба является четырнадцатигранник, описанный в гл. IV, § 6, п. 1, изображенный на рис. IV.5 и IV.22.
Кристаллографической группой <F решетки InSb является точечная группа тетраэдра Td, описанная в гл. II, § 3. Эта группа состоит из 24 элементов, распределенных по пяти классам (см. табл. IV.2). Оси C4 совпадают с осями kx, ky и kz, проходящими через середины шести квадратов четырнадцатигран-ника. Четыре оси C3 проходят через центры восьми шестиугольников (рис. IV.22).
Из гл. II § 9 п. 4 следует, что в случае симморфных групп (а = 0) неприводимые представления группы волнового вектора Г (g) описываются неприводимыми представлениями T(R), где R—элементы точечной группы Wh- Из табл. 11.7 характеров группы Td следует, что в центре бриллюэновской зоны (? = 0) кристалла InSb возможны только пять состояний электрона: два невырожденных (1\, Г2), одно дважды вырожденное (Г12) и два трижды вырожденные (Г15, Г25). Конечно, каждому из этих состояний может соответствовать множество уровней (зон) энергии, аналогично тому, как неприводимому представлению элек-Таблица IV.4 тРона в атоме (с заданным азимутальным квантовым числом I) соответствует множество уровней энергии.
E Cl JC2 JC\
Ai 1 1 1 1
A2 1 1 —1 —1
V 1 —1 1 —1
A4 1 —1 —1 1
T15 3 —1 / —1
Рис. IV. 22.
Рассмотрим теперь точечную группу, соответствующую точке А, лежащей на оси kx (см. рис. IV.22); она состоит из элементов R1 (см. табл. IV.2), связанных с преобразованием х—т. е. R1 = E, Ri — C\, R19 = O = JC2, R20 = o' = JCt (плоскости а и а' проходят через ось kx). В табл. IV.4 даны характеры этой группы четвертого порядка, состоящей из четырех классов.
Рассмотрим точку X на поверхности зоны Бриллюэна (см. рис. IV.22). Так как волновой вектор — /^эквивалентен век- 252
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
тору kx, то для определения группы волнового вектора kx надо к четырем элементам группы точки А добавить все элементы группы, соответствующие преобразованию х ——х. Из табл. IV.2 следует, что это элементы: R3, Ri, R13, Rli, так что мы получаем группу восьмого порядка, состоящую из пяти классов: R1 = E, Ri = Cl, R3 + /?4 = 2С4, R13 -j- Rlt = 2/С4 = 254, Rie -f-+ R29 = 2JC2 = 2a.
Таблица IV.5
E Cl 2 Cl UCi 2 JC2
1 1 1 1 1
X2 1 1 1 —1 —1
X3 1 1 —1 —1 1
X4 1 1 — 1 1 —1
X6 2 —2 0 0 0
Гхв 3 — 1 —1 1 —1
В табл. IV.5 даны характеры представлений группы волнового вектора kx. Аналогично можно построить таблицы характеров
групп волнового вектора для других симметричных точек (Л, L, xS 2, К, №) зоны Бриллюэна (см. рис. IV.22).
Допустим, что состояние элек-Xs трона проводимости в центре бриллюэновской зоны описывает-х ся трижды вырожденным непри-Рис. IV. 23. водимым представлением Г15, тог-
