Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, трехкратно вырожденное состояние электрона Г15 при переходе к точке Д (рис. 111.13) расщепляется на невырожденное состояние A1 и дважды вырожденное состояние A6 (III.8.19а). Также интерпретируются для электронного спектра выражения (III.8.20), (III.8.21) и (III.8.22). Соотношения совместности, сведенные в табл. 111.5, позволяют также просто рассмотреть другие электронные состояния в центре Г и их расщепление при смещении вдоль осей А, Л, 21).
2. Составим табл. IV.2 преобразования прямоугольных координат х, у, г при действии на них элементов группы тетраэдра Td (гл. II, § 3). Соответствующие элементы группы Td обозначены в таблице через #;(...) (i=l, 2, 3, ..., 24), причем в скобках указан характер преобразования координат. Например, R5 (yzx) есть поворот вокруг оси C3 (объемной диагонали Od на рис. 11.8) на угол 2я/3, связанный с преобразованиями: х—*у,
Таблица IV.2
E R1 {хуг)
3 с\ Ri(Xyz), R3 (хуг), R1(Xyz)
8 C3 Rs(yzx), Re (yzx), R7 (yzx), Ra (yzx), R9(Zxy), R10 (zxy), Rii(zxy), R12(Zxy)
6S4 = 6 JC1 Ri3(xzy), Ru(xzy), R16(zyx), R10(zyx), R17 (yxz), Rla(yxz)
бег = 6 JC 2 Ri9(Xzy), R20 (xz'y), R2I (гух), R22(Zyx), R23 (yxz), R2i(yxz)
Более подробный групповой анализ электронных спектров в кубических кристаллах см. в цитированной выше (гл. III, § 8, п. 2) статье Баукарта, Смолуховского и Вигиера. 248
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
y—+z, Z —*¦ х\ R2(xyz) — поворот вокруг оси л: на угол K(C4), при этом Х—+Х, у—>¦— у, Z — Z.
При действии преобразований Ri на функцию f(x, у, г) получим, к примеру
RiRbfix, у, г) = RJ (у, г, х)= f(y, ~г, х). Как следует из табл. IV.2, это эквивалентно действию элемента Rif (х, у, z)=f(y, z, х), поэтому R2R5 = R7, что может быть про-. z верено непосредственно геометриче-
Плоскосгль y=z ски. Таким образом, может быть составлена вся таблица умножения элементов группы Td. Элементам S4 соответствуют вращения на угол ± я/2 вокруг осей X, у, Z (рис. 11.8, б) с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Легко видеть, что преобразование S4 эквивалентно преобразованию JCi, если враще-Рис. IV. 21. ния на угол я/2 в первом и вто-
ром случаях производить в разных направлениях; таким образом, S4 = JCi. Элементы о связаны с отражением в плоскостях y = ±z, z = ±x, х = ±у\ они могут быть представлены как вращения на угол я с последующей инверсией (это прямо следует из (II.3.2)). Например, R19(Xzy), связанное с отражением в плоскости y = z, можно представить как вращение на угол я вокруг оси у = — z (х = 0) с последующей инверсией (рис. IV.21), поэтому a = JC2. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов и пяти классов: Е, 3d, 8C3, 6S4=6JC4, 6а = GJC2 (последовательность классов выбрана такой, как в табл. IV.2, а не такой, как в табл. 11.7). Изоморфная с Td кубическая группа О получится, если элементы двух последних классов Td подвергнуть преобразованию инверсии; таким образом, группа О состоит из классов: Е, 3d, 8C3, 6С4, 6С2. Для того чтобы получить таблицу преобразований координат группы О, надо в табл. IV.2 во всех двенадцати последних элементах Ri (i == 1_3, 14, ..., 24) произвести инверсию (тогда, например, Ri3 (xzy)-+R13(Xzy)).
Полная кубическая группа Oh может быть представлена как прямое произведение группы О или Td на Ci = {Е, J), т.е. Oh=Ox Ci=TdXCi. Группа Oh состоит из 48элементов и 10классов, получаемых от умножения 5 классов О или Td на элементы E и J. В первом случае (Oh = OxCi) мы получим для Oh следующие 10 классов: Е, ЗС1, 8С3, 6С4, 6С2, J, 3JC\, BJC3, 6JCit QJCi', во втором случае, при умножении классов Tdr на Ci, мы $8]
СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
249
получим: E, ЗС\, 8C3, 6S4 = 6/C4, 6<т = 6/С2, J, 3/CJ, 8JC3, 6У2С4 = 6С4, 6/2С2 = 6С2, что отличается только порядком от результата умножения OxCi.
Для того чтобы получить таблицу преобразований координат X, у, г для группы Oh, надо дополнить табл. IV.2.24 преобразованиями R[, R2, ..., R2i, получаемыми из нее действием инверсии, так что, например, Rrlb = JRlb (zух) = R'Vo (zyx) (заметим, что Rr1 в принадлежит классу 6/УС4 = 6С4.
На основе такой полной таблицы для Oh можно определить, как преобразуются полиномы, содержащие слагаемые вида xmynzP. При этом возникает возможность определить такие простейшие полиномы (с наименьшими значениями т, п, р), которые обладают симметрией базисных функций для соответствующих неприводимых представлений.
Так, например, функции т|^ = xyz преобразуются по неприводимому представлению Г2 (табл. 111.2). В самом деле, используя табл. IV.2, легко показать, что, например, при действии элементов класса ЗС1, xyz—у xyz, т.е. і|з—>-1|з, а при действии элементов класса 6С2, хуг—>-—xyz, т.е. —>-—гр; это находится в согласии с соответствующими характерами представления Г2. Легко показать, что преобразования Oh над ^ = xyz полностью осуществляет представление Г2.
Так же можно показать, что три функции = л:, %=у, "ф3 = z преобразуются по неприводимому представлению T1J. В самом деле, для Cl = R2(Xyz) имеем
