Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
п
где I г — rn I — расстояние электрона до л-го атома в нулевой ячейке и V1 (г)— периодический потенциал, создаваемый одной подрешеткой. Таким образом,
V1(r-r„) = 2V1*«№*<,-",) (6.1а)
S
и, следовательно,
У (^) = 22^ ige~iberneiber. (6.16)
g п
Это может быть записано в следующем виде:
V {Г) = 2 Vgetb*', (6 Л в)
g
где
Vg=VlgSg (6.1 г)
и структурный множитель
s s
Sg = 2 e~ibSfn = 2 в-2Я'<г>"п + йг°п + «з«'п), (6.ІД)
П=1 л=1
Выражение для структурного множителя электронев (6.ІД) совпадает с определеЖем структурного множителя для рентгеновских лучей (1.4.11а). Таким образом, если Sg = Sglg,g, равно нулю, то все соответствующие физически эквивалентные плоскости {ЯіЯгЯз} не эффективны как в рассеянии рентгеновских лучей, так и в возмущении движения почти свободных электронов.
Рассмотрим простую кубическую решетку, для которой еб-ратная решетка тоже простая кубическая, с основными? векто- 230
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
рами b{ = 2n/a (? = 1, 2, 3). В этом случае расстояние плоскости {ЯіЯгЯз} Д° начала координат, как это видно из уравнения для этой плоскости (5.10), равно
^SiS2S3 ~ ~2 bgigig, — -VrSl jT si jT Si-
В табл. IV. 1 даны для ряда плоскостей {ё^Яз} их число и их расстояние до начала координат.
Таблица IV. I
Плоскость {100} {110} {111} {200} {220}
Число плоскостей 6 12 8 6 12
hgigig*x IST 1 rr VT 2 2 У~2~
В качестве первого примера сложной решетки рассмотрим куб с центрированными гранями, который уже был рассмотрен как простая решетка в предыдущем разделе. Если выбрать в качестве а,- ребра куба, то элементарная ячейка гранецентри-рованного куба содержит четыре атома с базисом (unvnwn)= = (000, OV2 V2, V2 OV2, V2 V2 0). Структурный фактор, согласно условию (6.1д), равен
Sglglgl = 1 -fe-яі<«,+«.) -І-е-яМв.+g») -|-е-я»(«1+«,). (6.2) Отсюда прямо следует, что
5100 = 0, S110 = O, S111 = 4, S200 = 4. (6.2а)
Таким образом, 1-я зона Бриллюэна ограничена восемью плоскостями {111} и шестью плоскостями {200}. При пересечении этих плоскостей образуется усеченный октаэдр или четырнад-цатигранник, изображенный на рис. IV.5, а. Этот результат совпадает с тем, что было получено в предыдущем пункте.
Рассмотрим теперь действительно сложную решетку типа алмаза (см. рис. 1.13), не сводимую к простой решетке Браве (гл. I, § 2, п. 5). Так как решетка типа алмаза может быть представлена как две решетки гранецентрированного куба, сдвинутые друг относительно друга вдоль объемной диагонали куба на V4 его длины, то, если выбрать элементарную ячейку в виде куба (рис. 1.13), она будет содержать восемь атомов с базисом
(ооо, Ov2 V2, V2 о v2, V2 V2 о, V4 V1V1, V13U 3U, зи V4»/., 3U 3U V4).
Структурный фактор
5 = 1 -\-Є~ЛІ (Ss + Ss) J-е-Я( (Sa+?s) -Lg-™ (gi + g,) -Lg-V2Jtf (g, + ga+g3)_L
о Io 26 3 1
g - 1ZiXi (g, + 3g, + Sg,) ? - '/глі (Sg1 +gl + Sgl) e - xUni Og1 + 3g, +gs) _ (6.3) §7] ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 231
Отсюда следует, что
5IOO = 0. 5Iio = 0- 5Ui = 6> S200 = O, S211 = 0, S220 = 8, S221 = O.
Так как кристаллические решетки германия и кремния можно рассматривать как два сдвинутых друг относительно друга гране-центрированных куба, то 1-я зона Бриллюэна для них имеет форму четырнадцатигранника, изображенного на рис. IV. 5, а *).
§ 7. Приближение сильно связанных электронов
1. В предыдущем параграфе мы рассматривали периодический потенциал V (г), действующий на электрон как малое возмущение его свободного движения. Только при выполнении определенных интерференционных условий (5.10) движение электрона испытывает сильное возмущение. Такое рассмотрение количественно оправдано только в том случае, когда кинетическая энергия электрона велика по сравнению с пространственными колебаниями его потенциальной энергии V (г). Этот случай реализуется, например, при облучении кристалла электронами хотя бы в несколько сот эв. С другой стороны, из квантовомехани-ческой теоремы вириала следует, что средняя кинетическая энергия электрона в атоме, молекуле или кристалле должна быть порядка колебаний его потенциальной энергии, поэтому к электронам кристалла неприменимо приближение слабой связи. Можно попытаться подойти к вопросу с другой стороны, считая, что состояние электрона в изолированном атоме мало изменится при образовании из атомов кристалла. Очевидно, что это приближение сильно связанных электронов лучше оправдывается для электронов глубоких энергетических уровней атомов, т. е. для таких, которые относительно слабо взаимодействуют с атомами других узлов решетки. Конечно, приближение ни сильно, ни слабо связанных электронов не описывает правильно с количественной точки зрения состояние электронов в зоне проводимости кристалла. Поэтому оба эти приближения не могут быть использованы для количественных расчетов энергетического спектра и волновых функций электронов проводимости в конкретных кристаллах. Существенно, однако, то, что они дают хорошую иллюстрацию к общим выводам о движении электрона в периодическом поле. В некоторых случаях эти иллюстрации позволяют дать ряд новых качественных выводов о состоянии электрона в периодическом поле.
