Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
е(— k) = e(k) (4.2)
и, следовательно,
v(-k) = -v{k). (4.3)
Последнее непосредственно вытекает из выражений для средней скорости (3.32).
Используя равенство (4.3), легко показать, что
2* W = O, (4.4)
ь
где суммирование распространяется на все значения k внутри зоны Бриллюэна. Согласно принципу Паули в каждом А-состоя-нии может находиться не больше двух электронов с противоположно направленными спинами sz. Таким образом, ток полностью заполненной валентной зоны
/=2/ft = 2 2/* = -e2 2fW = 0. (4.5)
ks k k
Если к кристаллу приложить электрическое поле E =— gradtp, то ток полностью заполненной зоны по-прежнему равен нулю. В самом деле, если поле не слишком велико, то электроны не будут перебрасываться в зону проводимости и валентная зона
1J См. Spenke Е. Elektronische Halbleiter.— Berlin: Springer-Verlag, 1956, p. 196.218
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
останется заполненной и в электрическом поле. Если зона заполнена электронами не полностью, но внешнее электрическое поле равно нулю, то ток
J=JltA = O (4.6)
As
из-за симметрии распределения электронов в ft-пространстве (штрих у суммы означает, что суммирование ведется не по всей зоне Бриллюэна). Но если электроны не полностью заполняют зону и к кристаллу приложено электрическое поле, то ток (4.6) отличен от нуля, так как число ft-состояний, заполненных электронами, движущимися против поля, возрастает.
Введем теперь символ v„(ft, s), равный единице, если состояние (ft, s) занято электроном, и нулю — в противном случае. Очевидно, вероятность того, что состояние (ft, s) не занято электроном (дырка), равна vp (ft, s) = 1—v„(ft, s). Ток (4.6) может быть теперь записан так:
J=~eJvn(U,s)v(U), (4.6а)
As
где суммирование ведется по всей зоне, или J = -eJ[\-vp(k, s)]v(U) = -eJv(U) + Jv(U, s)v(U) =
ks ksks
= SjlVp(UtS)V(U). (4.66)
ks ґ
Мы видим, что электрический ток неполностью заполненной электронами зоны можно описать как ток положительно заряженных -f-e квазичастиц или дырок, соответствующих незанятым электронами ft, s-состояниям, движущихся со скоростями V(U). Концентрация дырок (их количество в 1 см3) равна Jv„(ft, s),
ks
если число квантовых состояний берется в расчете на 1 см3. Утверждение, что под действием электрического поля увеличивается число ft-состояний, занятых электронами, скорость которых v(U) направлена против поля, эквивалентно утверждению, что увеличивается число ft-состояний, занятых дырками, скорость которых направлена по полю. Вычислим поток энергии w, переносимый электронами неполностью заполненной зоны, если имеется преимущественное направление в их движении (обусловленное градиентом температуры, концентрации или потенциала ср):
W = Jvn (ft, s) [е (U)-ey]v(U)=J[l-vp(U, s)] [е (U) - eq>] V (U) =
ks ks
= J [е (U)¦-e<s>]v (U) -j- 2 Vp (ft, s) [ є (ft) + еф] V (ft). (4.7)
ks ks
Первая сумма в силу соотношений (4.2) и (4.3) равна нулю, вторая сумма может быть интерпретирована как поток энергии,§4] ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ДЫРКИ ВАЛЕНТНОЙ ЗОНЫ 219
переносимый дырками с зарядом -fe и энергией —є (ft). Если зона почти заполнена, так что энергия дырок при k Ttik0 близка к верхнему краю зоны, то в приближении эффективной массы (3.21) имеем
-в (*)--в (*„) , (4.7а)
а
где эффективная масса дырки —tna положительна, так как эффективная масса электрона tna у верхнего края зоны отрицательна; таким образом,
mg" = —mg»>0. (4.76)
При наличии магнитного поля // на электрон действует сила
Лорентца — — так же как и в случае электрического поля
пропорциональная заряду —е; поэтому можно показать, что и в этом случае остается применимой концепция дырок. В дальнейшем будет показано, что статистическое поведение электронов почти заполненной зоны эквивалентно статистическому поведению дырок, уровни энергии которых определяются выражением (4.7а). Таким образом, как в оптических явлениях, так и в явлениях переноса, обусловленных электрическими и магнитными полями или градиентом температуры или концентрации, можно пользоваться представлением о дырках.
2. В полупроводниках в общем случае носителями тока являются как электроны нижней части зоны проводимости, так и электроны почти заполненной валентной зоны, которые можно интерпретировать как квазичастицы с положительным зарядом -\-е и положительными массами (4.76). Частд в определенном температурном интервале можно считать, что явления переноса осуществляются либо одними электронами зоны проводимости (электронный или n-полупроводник), либо дырками валентной зоны (дырочной или р-полупроводник). Очевидно, что изучение электропроводности полупроводника не позволяет нам определить, принадлежит ли он к п- или р-типу. Как мы увидим дальше, это можно решить, изучая холл-эффект и другие гальвано- и термомагнитные явления.
Следует заметить, что концепция электронов и дырок с некоторыми эффективными массами может быть обоснована только в том случае, когда на электроны проводимости в кристалле действует внешнее электромагнитное поле1). Если же на электроны проводимости в кристалле действует гравитационное поле или силы инерции, то концепция дырок и электронов с эффективными массами неприменима. Наиболее прямым опытом для