Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2т Vh
& bl + 2(bhk)
ah~ tUt ТГТ^ТГТГ (A=H=O)- (5-6)
Совокупность коэффициентов ah ф о (5.6) определяет поправку к волновой функции электрона в первом приближении. Для определения возмущенной энергии положим
Єй = е0 + є' = ~+є'. (5.7)
Подставляя выражения (5.7) и (5.6) в уравнение (5.4), получим г'an — Vh= 2 Vg^h~g. (5.8)
Как мы увидим, є' — второго порядка малости; поэтому полученное равенство достаточно рассмотреть для A = O (величины ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 223
EfCift ф о—третьего порядка малости). В этом случае
Є'= S Vga.g. (5.9)
ёФО
Заменяя суммирование по g суммированием по —g, подставляя CLg и учитывая, что V^g = Vg, получим
2т S^ I ^la
2т V
(5.9а)
Мы видим, что поправка к энергии є' пропорциональна | Vs-I2, т. е. второго порядка малости, как мы утверждали выше.
Рассмотрим важный случай, когда знаменатели в выражениях (5.6) и (5.9а) близки к нулю, т. е.
lUbl + (M) = (pg, VA + ?) « 0. (5.10)
Очевидно, что соответствующий коэффициент Cig и поправка к энергии є' не будут уже в этом случае малыми, и, следовательно, сами формулы (5.6) и (5.9а) неприменимы. Надо думать, что если волновой вектор электрона к удовлетворяет для некоторого вектора bg условию (5.10), то почти свободное движение электрона претерпевает сильное возмущение. Это возмущение имеет характер зеркального отражения электронной волны по Вульфу — Брэггу от атомной плоскости, перпендикулярной к вектору bg, так как условие (5.10) в точности совпадает с (1.4.5). В этом явлении особенно наглядно проявляется волновая природа электрона, движущегося в периодическом поле кристалла.
С другой стороны, условие (5.10) совпадает с уравнением плоскости, ограничивающей зоны Бриллюэна (II.9.11). Таким ^ образом, если конец волнового вектора электрона k лежит вблизи « границы зоны Бриллюэна, то электрон испытывает в кристалле сильное брэгговское отражение.
Рассмотрим электрон с волновым вектором k, удовлетворяющим условию (5.10), для заданного bg. Если соответствующая амплитуда Vg в уравнении (5.6) не близка к нулю, то коэффициент dg велик (одновременно с коэффициентом а0). Система уравнений (5.4) сводится в этом случае к двум уравнениям:
Pk21
J (5-11)
[
[^2 и
+ aS=ySaо-
Система линейных однородных алгебраических уравнений (5.11) для коэффициентов а„ и ag имеет решения, отличные от 224
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
нулевого, если определитель системы равен нулю, т. е.
Ir <* + *'>']-I^l2 = 0- (5Л1а>
Решая это квадратное уравнение для є* и подставляя в решение (5.10), получим
г> = Ц?±\У,\. (5.12)
Таким образом, для к, удовлетворяющих интерференционному условию (5.10), энергия терпит разрыв, равный 2\VS\.
Рассмотрим для иллюстрации одномерный случай, когда be = 2ng/a и условие (5.10) приобретает вид
1 4 jx2g2
?2дх а
= 0.
Отсюда
k = ke=±^g (? = 1,2,3,...).
(5.13)
На рис. IV.2 изображена зависимость энергии є* от k для этого случая. При k, далеких от kg, поправка к энергии мала
-O.JH1.J.J.
Ha Sa
H О п чп
a Tt 0 а 1 а
Рис. IV. 2.
Pk2
(квадратична в IVrg-I), т.е. можно считать ек = , где т —
масса свободного электрона. При k==kg— ±.я/а, ± 2л:/а, ±3л/а в энергетическом спектре электрона возникают запрещенные участки энергии шириною 21 Vrx ]» 2 j Va |, 2 j V31 и т.д. Спектр энергии электрона приобретает зонный характер, т. е. разрешенные участки энергии чередуются с запрещенными. Мы видим, sei ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
225
что в случае почти свободных электронов их энергетический спектр имеет почти п а р а б о л и ч ее к и й характер (5.5а). В соответствии с условием (3.9) энергия электрона в пределах каждой разрешенной зоны—периодическая функция волнового
вектора k, т. е. є ал =8й (тонкие линии, продолжающие влево
A ^--
а
и вправо отрезки параболы на рис. IV.2). Это позволяет рассматривать все энергетические полосы в пределах первой или
приведенной зоны Бриллюэна, т.е. для —^kМы видим, что для слабо связанных электронов в приведенной зоне энергия электрона в последовательных энергетических зонах при & = 0 попеременно принимает минимальное и максимальное значения. Одной из характерных особенностей одномерного случая, представленного на рис. IV.2, является то, что последовательные зоны разрешенной энергии электрона всегда разделены запрещенными участками энергии 2IVJ, 2|У2| и т.д.
В двумерном и трехмерном случаях это не всегда имеет место. Теория и опыт показывают, что в этих случаях энергия электрона в некоторой точке бриллюэновской зоны для верхней полосы (зоны) энергии может оказаться ниже энергии, вообще говоря, в другой точке нижней полосы (зоны) энергии. В таком случае мы говорим о перекрытии зон згйергии. Такое перекрытие энергетических зон играет важную роль в металлах. В этих случаях может начать заполняться электронами верхняя энергетическая зона при неполностью заполненной нижней зоне.
§ 6. Зоны Бриллюэна
1. В гл. II, § 9, п. 1 мы рассмотрели, как геометрически строятся зоны Бриллюэна. Для этого произвольный узел обратной решетки О соединяется отрезками с остальными узлами решетки и затем через середины этих отрезков проводятся перпендикулярные к ним плоскости. Многогранники, ограниченные этими плоскостями, образуют зоны Бриллюэна.
