Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
-_. ha
Є — + eha/kaT-i . (11.10)
где член V2A(0, не зависящий от температуры, называется нулевой энергией осциллятора. Выражение (11.10) (точнее второе слагаемое в правой части этого выражения) может быть получено, если рассматривать нормальные колебания решетки как квазичастицы—фононы (§ 10, п. 3).
Поскольку операторы рождения и уничтожения фононов удовлетворяют правилами коммутации (10.18), фононы являются бозонами, т.е. описываются в равновесии статистикой Бозе—Эйнштейна.
В некоторых отношениях фононы ведут себя не так, как газ обычных частиц; именно поэтому они называются квазичастицами. Во-первых, при взаимодействии с электронами или друг с другом фононы возникают и исчезают. Во-вторых, среднее число фононов (их концентрация) зависит от температуры. Для газа обычных частиц (атомов, электронов) переменные V, T и N (число частиц) являются независимыми. В случае фононов их число N определяется при заданном V и T из условий равновесия, т. е. из минимума свободной энергии <F (Г, V, N). Таким образом,
(Щ =г=0
где ? по определению—химический потенциал.
Равновесное число фононов N в одном квантовом состоянии, т.е. в ячейке фазового пространства объема (1 CM3Xhs), §11] ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 181
с энергией Ao) и химическим потенциалом ? = 0 равно1)
Очевидно, что их средняя энергия E = Im-N, что совпадает со вторым слагаемым правой части (11.10).
Отсюда следует, что фононы—это элементарные возбуждения
V (q)
кристалла над его нулевым уровнем энергии S0 = Z*і—2—•
т, 4
Взаимодействуют с электронами проводимости только эти возбуждения, т.е. нулевые колебания образуют как бы неизменный фон (вакуум) кристалла.
Если, однако, амплитуда нулевых колебаний атомов становится сравнимой с постоянной решетки, io такие квантовые кристаллы приобретают ряд интересных свойств; такими свойствами, в определенных условиях, обладают кристаллы твердого гелия.
Используя выражение (11.10), получим в термодинамическом равновесии для полной внутренней энергии кристаллической решетки
J;? +is Jz ¦ olid
/ = 1 q la4VkaT ^ 1 /=4 q e Я>' ° —\ V1 qj
где S0 = 2-і—2--не зависяЩая 0T T нулевая энергия и вы-
" 3
делено суммирование 2 п0 трем акустическим ветвям. /=і
3. Будем считать (в грубом приближении), что частоты оптических ветвей не зависят от q и равны своим предельным значениям со^ФО2). В этом случае суммирование по q для каждой оптической ветви эквивалентно умножению на N, Энергию акустических колебаний (второе слагаемое в (11.11)) вычислим в приближении изотропного континуума (§ 9); это приближение тем лучше, чем больше длина волны по сравнению с постоянной решетки.
Используя функцию распределения частот g(a>) (9.15), представим энергию акустических колебаний в виде
mn» x , aim
о Г / \ J 3vti Г ш3ло /її 1л\
J = {ПЛ2)
о о
1I Ансельм А. И., гл. IX, формула (2.9).
2) Например, пользуясь (3.6), можно показать, что ширина оптической
ветви, т. е. ш0п (0)—Won j мала, когда масса одного атома много больше
массы другого. 182 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
где »о—средняя от обратного куба продольной и поперечной скорости акустических волн (9.16).
Максимальная частота <от определяется из условия, что полное число колебаний равняется полному числу нормальных колебаний 3N во всех трех акустических ветвях. Таким образом,
и т о>т
откуда
/6я2\1/з <а,„ /6я2\
®.= »о 7Г и ^=TT-= сГ
W0) и Яш= • (11.13)
Здесь Q0 = WAf — объем элементарной ячейки, a qm— максимальное значение волнового вектора. Определим «постоянную решетки» равенством Q0 = а3. По порядку величины wm~v0/a и, следовательно, максимальное значение волнового вектора и минимальное значение длины волны: qm = wjv0 ~ 1 /а и ^mjn = = 2n/qm~ а. Для кубического кристалла бриллюэновская зона имеет форму куба с ребром, равным 2Ща, так что максимальные значения прямоугольных составляющих вектора q равны л/а (5.9а).
В приближении упругого континуума теории Дебая возможная область значений q заключена в сферу радиуса qm (11.13).
Определим характеристическую температуру твердого тела (температуру Дебая) равенством
^ = TfeW (11-14)
Так как <от ~ -J- - J^r ~ IO13 и ?0 ~ Ю"16, то Tc-IOO0K-
Можно ввести температуры Дебая, соответствующие предельным частотам оптических ветвей:
Tcj = Iiwyk0, (11.14а)
которые тоже порядка IO2—IO3 градусов Кельвина, но, вообще говоря, Tcj- > Tc.
Вводя в выражение (11.12) переменную интегрирования х = = IwIk0T и используя определения характеристических температур (11.14) и (11.14а), имеем
і =S0 + Nk0T 13D (^) + ? JccIlJ_; I , (11.15) где функция Дебая
Я(0=-И-?=Т- (11Л5а) §11] ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 183
Рассмотрим вначале высокие температуры, когда T^Tcj и тем более Т^>ТС, так как Tc-CTcj. В этом случае аргумент функции Дебая t = Tc/T<S^ 1. Заменяя в подынтегральной функции в выражении (11.15а) е*« 1+д;, легко видеть, что D(t)1. Разлагая также экспоненту в членах, соответствующих оптическим ветвям, получим
