Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
OD
<n'\q\n> = qtmq =
— со
_ ( Vn, если n' = n-1, % I V~N~+\, если N' = N + 1, (Ю-5)
0 во всех остальных случаях;
dQ a^
-Vn, если n' = n—1, Vn + I, если n' = n+ 1, (10.6)
0 во всех остальных случаях.
2. Введем вместо Cij (д) новые комплексные нормальные координаты Oy (q), полагая
e'{q) = Y ^Tw [в? д)+а'{q)]• (107)
«у («) = '}/"^ [а'і-ф-а^т. (10.8)
х) Ландау Л. Д., Лнфшиц Е. М. Квантовая механика,—3 изд.— M., 1974, § 23.
2) Там же. J10] КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ. ФОИОНЫ 175
Определенные таким образом а,- (q) автоматически удовлетворяют условию (6.5). Решая систему (10.7), (10.8), относительно CLj (q) и af(—q), получим
M?) = ]/" (10-9)
Выражая Cij (q) и Cij (q), посредством (6.16), через Qj (q) и Qj (q) = Pjiq), получим___
3. Введем операторы,1 соответствующие величинам cty (q) и u*j(q). Опуская для простоты записи индекс j и аргумент q, получим из (10.10) и (10.1)
(а+ — оператор величины a*iq)).
Легко показать, что эти операторы не эрмитовы. Применяя их к волновой функции (10.46), получим
Oifor = VrA^lf (10.13)
1^ = ^ + 1^(. (10.14)
В самом деле, вычисляя
(о1/4 ехр (— (oQs/2&) Hn
/ ҐЛ \ I / 'Z / п. \ / 'і ҐІ
fllI3Ar =
V 2 % J V 2(0 J dQ
і Г«"
(Л)1" (2 Nmfi
получим (10.13); при этом произведение первого слагаемого в квадратной скобке на волновую функцию гр^ сокращается с производной d/dQ от экспоненциального множителя в ifo/, кроме того, надо воспользоваться тем, что1)
H'N{1) = 2NHN^(1). (10.15)
Аналогично получается (10.14).
Как мы увидим дальше, при взаимодействии нормальных колебаний решетки с электронами проводимости и взаимодействии колебаний друг с другом эти колебания ведут себя, как
*) Смирнов В. И., т. III, ч. 2, § 158. 176 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
частицы с энергией fw>j (q) и квазиимпульсом%q. Эти квазичастицы получили название фононов.
В Q-представлении состояние кристалла с гамильтонианом (10.2) задается симметризованным произведением осцилляторных функций (10.46)2), каждая из которых характеризуется квантовым числом N = Njq. В силу квантовой неразличимости фононов одного сорта (/, q) состояние кристалла полностью описывается числами фононов Njq. Такой способ описания систем квантово-тождественных частиц получил название метода вторичного квантования. Операторы а и а+, введенные выше, являются операторами в представлении вторичного квантования, так как они непосредственно действуют на числа заполнения N. В самом деле, оператор а, как видно из (10.13), уменьшает число фононов N на единицу (поэтому он называется оператором уничтожения), а оператор а+, как видно из (10.14), увеличивает число фононов N на единицу (поэтому он называется оператором рождения).
Рассмотрим некоторые свойства операторов а н а+. Из квантовой механики известно, что для сопряженных координаты Q = Qj (q) и импульса P~Pj(q) имеют место перестановочные соотношения 3), т. е.
QP—PQ = [Q, P] = ih. (10.16)
Подставляя сюда вместо операторов Q и P = Q их выражения через а и а+ (см. (10.11), (10.12)), получим
аа+— а+а = [а, а+\= 1. (10.17)
Так как операторы QiIq) и Pj>(q') при }ФЇ или q^q' коммутируют друг с другом, то (10.17) может быть записано в виде [aj (q), at,(q')] = ojj,oqg: (10.18)
Квазичастицы (частицы), операторы рождения и уничтожения которых удовлетворяют правилам коммутации (10.18) называются бозе-частицами или бозонами. В состоянии термодинамического равновесия они описываются статистикой Бозе—Эйнштейна*).
Выразим гамильтониан (10.2) через операторы а и а+; воспользовавшись (10.11) и (10.12), получим
(10.19)
____і, ч
х) Мы называем величину %q квазиимпульсом, а не импульсом, так как она обладает некоторыми особенностями, ие свойственными импульсу свободной частицы; например, при столкновении сумма квазиимпульсов сохраняется с точностью до произвольного вектора обратной решетки.
2) Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Квантовая механика.— 3 изд.— M., 1974, § 61.
3) Там же.
4) Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики.— M., 1973. J10] КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ. ФОИОНЫ 176
что можно, используя (10.18), переписать в виде
Ж (a) = S Ц + V2]. (10.20)
/. ч
Применяя оператор а+а к волновой функции (10.46), получим, учитывая (10.13) и (10.14):
a+a^N=a+YrN^i = N^n. (10.21)
Мы видим, что собственные значения оператора а+а равны числу частиц (фононов) Njq в состоянии (/, q).
Применяя оператор Гамильтона в форме (10.20) к собственной функции грдг, получим, используя (10.21), для собственных значений энергии
S=I na/(q)[Niq+42], (10.22)
/. ч
что согласуется с (10.4а).
Используя (10.13), получим для матричных элементов операторов уничтожения и рождения частиц:
<ЛГМЛГ>=( ecjmr^-1' (10.23)
11 I 0 во всех остальных случаях;
<лг|а+|лг> J vYj^' ЄСЛИ N' = N + l> (10.24)
11 I 0 во всех остальных случаях.
Матричные элементы операторов, соответствующих величинам a/(q), как следует из (10.7), равны
<N'ql\aj(q)\Nqi>_ =_
= { Y ^n я/12®/ (Я), если N4i = NH—1 > о 25)
