Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. III.17 и III.18 представлены, по Келлерману, функция распределения колебаний g(a») для акустических ветвей и следующая из нее и из теории Дебая зависимость Tc от температуры4). Мы видим, что g (w) весьма существенно отличается от параболического закона (9.15), представленного на рис. III. 17 пунктирной кривой. Из дебаевской формулы (11.17) видно, что закон T3 реализуется только тогда, когда Tc достигает при низких температурах постоянного значения, т. е., как видно из рис. III.18, ниже 5—7 °К. С другой стороны, в интервале
1) Мы рассматриваем только акустические ветви, считая что оптические ветви не возбуждены в интересующей нас области температур.
а) Kellermann Е. W.— Phil. Trans. Roy. Soc.-1940 v. 238,p. 513; — Pr ос. Roy. Soc.-1941. v. A 178, p. 17.
') При этом надо иметь в виду, что, вообще говоря, не все колебательные ветви обязательно вносят что-либо в данном интервале ш, До».
4) Кружки на рис III. 18—экспериментальные данные. 186 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
20—50°К у Tc наблюдается пологий минимум, вблизи которого Tc можно считать постоянной и, следовательно, ожидать приближенного выполнения закона T3.
Келлерман использовал для расчета теплоемкости кристалла NaCl эмпирические данные по его сжимаемости. Более прямой путь — непосредственное использование функции распределения частот g(о»), полученной из опытов по рассеянию нейтронов в твердом теле.
Ф. Джонсон и В. Коч-ран1) определили функцию g(со) для германия из кривых дисперсии (Oj- = (S)j- (д), полученных на основании опытов по рассеянию нейтронов. Вычисленная ими для германия зависимость температуры Дебая Tc от температуры T (пунктирная кривая на рис. 111.19) может быть сравнена с этой же зависимостью, полученной из теплоемкости (сплошная кривая). Совпадение, как мы видим неполное, но вполне удовлетворительное. Расхождение мы относим за счет неточного определения функции распределения частот g{(o).
jzo 300 280 2Б0
го
40 ВО
Рис. III. 18.
ВО
WO 7-/К
Te
W
300
гоа
20
во
Рис. III. 19.
wo т;к
§ 12. Уравнение состояния твердого тела
1. Выведем уравнение состояния, т. е. установим связь между давлением Р, объемом V и температурой T твердого тела. Для простоты будем рассматривать одноатомное твер-дое тело в дебаевском приближении.
*) Johnson F. A., Cochran W. — Proc. Exeter Conf. on Semiconductors, 1962, p. 498. S 12]
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
187
Наиболее прямой путь получения уравнения состояния заключается в вычислении свободной энергии системы1)
r=—kJlnZ, (12.1)
где сумма состояний
z = Ee~e"/l!°T®(en)- (12.1а)
п
Здесь Q(еп) — статистический вес или число различных состояний системы с одной и той же энергией є„; другими словами, Ще„)— кратность вырождения энергетического уровня еп. Для линейного гармонического осциллятора Q(e„) = l и Z равно выражению (11.9). При непрерывном изменении энергии е сумма состояний заменяется интегралом состояний. Из термодинамики известно2), что давление
P = -{w)r> (12-2)
где производная по V берется при постоянном Т.
Свободная энергия осциллятора при частоте со равна
+ (12.3)
как это следует из выражений (12.1) и (11.9).
Для твердого тела, описываемого 3G3 = 3N независимыми нормальными колебаниями (осцилляторами), свободная энергия равна сумме свободных энергий осцилляторов:
W = X JFoeu = L + KT Ц In (1 - е //*. А. (12.4)
41 9/ V J
В приближении дебаевского континуума
Sr = S„ + KTJ In (1 — (О2 ско =
TdT
= S0+9NkeT[f-y j ln(l— e-*)x%dx, (12.4a)
' о
если воспользоваться соотношениями (9.15) и (11.14).
При определении давления по формуле (12.2) необходимо (12.4а) продифференцировать по объему V при постоянной температуре Т. Можно показать, что характеристическая температу-
1J А нсельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики,—M., 1973, с. 53, 111.
2) См. там же. 188
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ
[ГЛ. III
pa Tc или пропорциональная ей предельная частота (от в ангармоническом приближении зависят от объема V. Проиллюстрируем это на примере простой одномерной решетки, предельная частота
4
колебаний которой, согласно (2.5а), равна (O2m = — ?, где ?—
коэффициент квазиупругой силы.
Согласно (1.3) сила взаимодействия атомов в ангармоническом приближении равна
F = —?x + yx*.
Здесь X=R — Ra (R0—равновесное расстояние между атомами), P = cTTOR0) >0 и у= —1IW(R0) >0; <И (Я) — потенциальная энергия взаимодействия атомов.
При однородном растяжении или сжатии атомной цепочки на каждый атом дополнительно действует некоторое однородное поле ^ = Const, энергия атома в котором равна AR. Так как сила в новом положении равновесия R0+AR0 равна нулю, то ^'(Яо + Д#о)-М = 0. Разлагая cIL'(R0 +AR0) в ряд по степеням AR0 и учитывая, что 4L'(R0) = 0, получим 4L"(R0) AR0 + А = 0 или А — —?A/?0. С другой стороны, измененная предельная частота (Om + Acom удовлетворяет соотношению
((om + AcomY = ± 4L" (R0 + AR0)
(вторая производная по R от энергии AR равна нулю). Разлагая правую часть по AR0, пренебрегая слева (A(Om)2 и используя значение (O3m, получим
