Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Волновое уравнение для скаляра й (9.2) аналогично волновому уравнению (9.3) для каждой составляющей вектора кручения ф, поэтому достаточно рассмотреть уравнение (9.2). Рассмотрим волны {} в кубе с ребром L. Направим прямоугольные оси координат х, у и z по ребрам куба; выберем в качестве граничных условий: § = 0 на всех шести гранях куба x = y = z = О и x = y = z = L. Выбор граничных условий не может быть существен, если длина волны мала по сравнению с L. В частности, ничего не изменилось бы, если бы мы потребовали равенства нулю на гранях куба не сжатия а упругих напряжений (свободные поверхности).
Ищем решение (9.2) в виде
й = A sinW sinaxsin&r/sincz, (9.7)
где А—амплитуда, со — циклическая частота колебаний и а, Ъ, с—постоянные. Подставляя (9.7) в (9.2), получим после сокращения обеих частей на
<а = V У а2+ Ь2 +с*. (9.8)
Таким образом, выражение (9.7) удовлетворяет уравнению (9.2), если частота со связана с а, Ь, с соотношением (9.8). Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, мы должны положить OL=Zn1H, bL = n2n, cL = nsn, (9.9)
где H1, пг, п3—целые положительные числа или нуль (отрицательные числа приводят к тому же колебанию с фазой, сдвинутой на л).
Подставляя (9.9) в (9.8), получим
to = ^/7^+7^+7?. (9.10)
Каждой тройке чисел Ui соответствует свое нормальное колебание с определенной частотой (9.10). Если nlt п2, п3—большие числа, т. е. длина волны колебаний много меньше L, то со зависит от чисел Ui квазинепрерывно. В этом случае можно поставить вопрос о числе колебаний в интервале частоты (со, co + dco).
Введем величину
R* = n\ + n\ + n\, (9.11) і 9]
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИЗОТРОПНОГО КОНТИНУУМА
169
тогда частота
со =
nvt
(9.12)
На рис. III.15 представлена декартова координатная система, по осям которой отложены целые положительные числа п1г /га, п3; каждому узлу кубической решетки, изображенной на рисунке1), соответствуют целочисленные координаты "і, я2, п3 и определенный радиус-вектор R (9.11). С другой стороны, каждому узлу решетки соответствует определенное нормальное колебание (9.7) с частотой (9.10).
Определим число колебаний на интервал частоты (со, со + сісо), когда числа П{ велики. Из (9.12) и (9.11) следует, что это число равно числу узлов решетки в шаровом слое (R, R + dR) в координатном октанте. Поскольку объем кубической ячейки равен единице, это число просто равно объему соответствующего шарового слоя.
Таким образом, число продольных колебаний на интервал частоты (со, co + dco), равно
^(co)dW = i^ = -^co*dco, (9.13)
Рис. III. 15.
2л2і>;
как это следует из (9.12); здесь F = L3 — объем тела. Для каждой из двух составляющих вектора ф, удовлетворяющих уравнению (9.3), справедливы аналогичные соображения; поэтому число поперечных колебаний в интервале (со, co + dco) равно
& Mdco = 2Кз CO2CiCO, (9.14)
2 n*vi
где два в числителе учитывает наличие двух составляющих для поперечной волны (9.6).
Полная функция распределения частот (5.32) равна
g M = ёг N + gt (со) = -Xr со2, (9.15)
где скорость V0 определяется из равенства
1
Уо
: 3 ( Vf + V] )
(9.16)
1J Для того чтобы не усложнять рисунка, на нем представлены узлы решетки только в плоскости (иа, л3). 170 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Можно сказать, что и® есть средняя от обратного куба продольной и поперечной скорости звука.
Отметим, что в континуальном (дебаевском) приближении для акустических колебаний функция распределения частотg (со) (5.32) пропорциональна со3.
2. В предыдущем пункте мы видели, как в континуальном приближении описываются длинные акустические волны.
Исследуем теперь континуальное приближение для длинных оптических волн в кубическом ионном кристалле (К. Хуанг, 1950). Рассмотрим ионный кристалл, каждая ячейка которого состоит из двух разноименных ионов с эффективными зарядами ± е* и массами т+ и m_. В длинноволновых оптических колебаниях движение ионов во всех ячейках происходит синхронно (§ 5, п. 5), поэтому достаточно рассмотреть движение ионов в одной ячейке. Если Ujr и — смещения положительного и отрицательного ионов из положений равновесия, то уравнения движения имеют вид
т+^~-к(и+-и_) + е*Ее, (9.17)
= (9.17а)
Здесь Ee—эффективное электрическое поле, действующее на ион со стороны внешнего поля и остальных ионов кристалла, и—коэффициент квазиупругой силы, действующей на ион при смещении его относительно другого иона. Деля (9.17) на т+, (9.17а) на т_ и вычитая их почленно, получим
mr~=-KS + e*Ee, (9.18)
где тг—приведенная масса (mj1 = mi1 + mi1), s = u+—«_—смещение положительного иона относительно отрицательного иона. Эффективное поле в кубическом ионном кристалле 1)
Ее = Е + ^Р, (9.19)
где E — среднее поле в диэлектрике, а вектор поляризации
P= N0 [е* (u v — uJ) + а+Ее + а_Ее\ = N0 [e*s + аEe]. (9.20)
Здесь N0—число ячеек в единице объема кристалла, а+ иа_ — электронные поляризуемости положительных и отрицательных ионов, а а = а++а_. Континуальность подхода связана, в частности, с использованием макроскопического понятия вектора поляризации Р.
