Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
/= 4 Є 1 /= 4
Таким образом, & = + SsNk0T, а теплоемкость cv = д?/дТ = = 3sNk0 в соответствии с законом Дюлонга и Пти (11.4).
Рассмотрим теперь случай низких температур, когда Т<^,ТС и тем более T<^.Tcj. Пренебрегая величинами порядкаае~ 7^r по сравнению с единицей, отбросим в выражении (11.15) члены, соответствующие оптическим ветвям, и заменим в интеграле функции D (t) верхний предел на оо. Так как1)
CD
P хъ dx я4
ех — 1 15
"\4
ТО д ЗпЧЪТ* а I n*V(ktT)* п
т. е. зависящая от температуры часть энергии пропорциональна Ti. Теплоемкость
д<§ 12я *k0fT\3
cV= W = -IT \je) ' (11-17)
т. е. пропорциональна T3. «Закон Г3» довольно хорошо оправдывается на опыте при температурах порядка 20—50 0K. Теория теплоемкости Дебая, основанная на выражениях для g (со) (9.15) и для предельной частоты (11.13), должна хорошо оправдываться для низких температур, когда возбуждены только длинные волны и, следовательно, применима аппроксимация упругого континуума. С другой стороны, при высоких температурах, когда теплоемкость определяется просто числом степеней свободы решетки, теория Дебая приводит к правильному результату—закону Дюлонга и Пти. Для промежуточных температур выражение для теплоемкости cv, следующее из теории Дебая, может рассматриваться только как более или менее удачная интерполяционная формула. Дифференцируя выражение (11.15) по Т, получим
W qaть IAT^CrA Z(TcIT) 1 , »ь у eT<j'T(TcJ/T)*
_ (11.18)
') Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М./Теоретическая физика, т. 5.— Статистическая физика, —3 изд.—M., 1976, с. 223. 184 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ
[ГЛ. III
V
С™ SNk0 O?
о,г
о цг
O?
гр
_г Tc
Рис. III. 16.
Температурная зависимость теплоемкости акустических ветвей характеризуется величиной
где правая часть может быть получена интегрированием по частям интеграла, определяющего функцию D(TJT). На
рис. 111.16 построена величина (11.18а) как функция Т/Тс. При низких температурах она пропорциональна (Т/Тс)3, при высоких— стремится к единице. Отклонение выражения (11.18а) от единицы определяет отступление теплоемкости акустических ветвей от классического значения 3Nk0. Из кривой видно, что практически характеристической температурой, отделяющей классическую область от квантовой, является не Tc, а скорее TJ3. Таким образом, при температурах T^Tc справедливы классические выражения для теплоемкости, а при T<Tj 10 должны действовать квантовые законы.
Теплоемкости, соответствующие оптическим ветвям, часто называют эйнштейновскими членами1). При Т—>0они убывают не по закону T3, а быстрее, как T~*e~TcJ/T. В том случае, когда Tcj^Te (молекулярные решетки), возможны случаи, когда T^Tc и Т<^ТС/, так что акустические ветви полностью возбуждены, а теплоемкостью оптических ветвей можно пренебречь. В этом случае решетка ведет себя как классическая одноатомная с
S
массами «атомов» M = Imk.
A= і
4. Более глубокое экспериментальное и теоретическое изучение теплоемкости твердых тел при низких температурах показало, что истинная область закона T3 простирается только на несколько градусов вблизи абсолютного нуля. Видимость же выполнения закона T3 при температурах 20—50 0K обусловлена другими причинами, рассмотренными ниже. Конкретные расчеты показали, что даже при низких температурах
теп-
1J Теплоемкость одноатомного твердого тела была впервые с квантовой точки зрения рассмотрена А. Эйнштейном; при этом им было сделано упрощающее предположение, что все атомы решетки колеблются с одной определенной частотой. Очевидно, что при этом он получил выражение для теплоемкости, совпадающее с теплоемкостью одной оптической ветви в выражении (11.18) (умноженной на 3). §11] ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 185
лоемкость остается чувствительной к дискретности структуры решетки.
Представим себе, что нами экспериментально или теоретически определена точная зависимость теплоемкости cv от температуры Т. Используя теорию теплоемкости Дебая, основанную на представлении об упругом континууме, положим
CV (T) = Cf >(ТJT), (11.19)
где с{Р>—дебаевская теплоемкость (11.18а), зависящая от температуры и одного параметра Tc1). Отступление Cv(T) от теории теплоемкости Дебая можно формально описать, считая характеристическую температуру Tc зависящей от температуры Т.
Так, например, Келлерман2) подробно рассмотрел колебания решетки NaCl, вычисляя коэффициенты D^(q) по формуле (5.10а) и решая характеристическое уравнение (5.11) для частоты to2. При определении кулоновских сил взаимодействия ионы рассматривались как точечные заряды. Силы отталкивания между ионами определялись из данных по сжимаемости.
В общем случае число колебаний во всех 3s ветвях на малый интервал частоты Acо равно3)
3s
g N Ac0 = * ? Ш dqxdqydq2. (11.20)
I= 1 ш < usj (чх, Чу, Чг) < ш+Дш
Для определения отсюда функции распределения колебаний g(a>) необходимо знать для всех ветвей зависимость сOj(qx, qy, qz), что может быть сделано только путем численных расчетов. Выражение (11.20) может быть использовано вместо приближенного выражения (9.15) для определения внутренней энергии кристалла (11.12).
