Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
^O во всех остальных случаях;
<Щ, I a) (q) I Nqjy =_
= {Y% Wn + 1^2co/ (Я), если Nqj = Nqj + 1, (10 26)
^O во всех остальных случаях.
При этом мы учитываем, что матричные элементы от операторов aH—Я) ПРИ N'qj = Nqj=f 1 равны нулю; в самом деле, в Q-представлении (10.10) эти операторы зависят от Qj- (—q), в то время как волновые функции зависят от Qj (q).
Метод вторичного квантования особенно удобен для квантового рассмотрения систем с очень большим (и даже нефиксированным) числом тождественных частиц (фононов, фотонов, электронов и дырок проводимости в кристалле, электронов и позитронов). 178 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
§ 11. Теория теплоемкости кристаллической решетки
Одним из важных применений теории колебаний кристаллических решеток является теория их теплоемкости.
1. Очень проста теория теплоемкости кристаллов в классической области, когда движение атомов решетки подчиняется законам классической механики. Как было показано Л. Больц-маном, для систем, находящихся в состоянии статистического равновесия, средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна
екнн ~2~ T = -g- k0 Т, (11.1)
где R=1,986кал/град¦ моль—газовая постоянная, N„=6,023- IO23— число Авогадро (число частиц в одном моле вещества), = = R/N0 = 1,38- Ю-16 эрг/град—постоянная Больцмана и T — абсолютная температура 1J.
Легко показать, что для линейного гармонического осциллятора средняя потенциальная энергия епот равна средней кинетической энергии єкин, поэтому средняя полная энергия
8 ^ eKHH "Ь ЄЛОТ = 2ЄКИИ- (11-2)
Для одной граммолекулы кристалла элемента его внутренняя энергия в состоянии статистического равновесия, равна энергии 3N0 нормальных колебаний
? = 3N~e = 3N0-2lKm = 3N0-^T=3RT. (11.3)
Грамм-молекулярная теплоемкость такого кристалла при постоянном объеме равна
Cv = д$}дТ = Зі? = 5,96 кал/град-моль, (11.4)
т. е. не зависит от температуры и равно примерно 6 кал/град-моль (закон Дюлонга и Л ти).
Большая простота классической теории теплоемкости кристаллов связана с двумя обстоятельствами; с возможностью представления движения атомов кристалла (в гармоническом приближении) в виде нормальных колебаний и универсальностью закона равнораспределения энергии по степеням свободы (11.1). Соотношение (11.4) довольно хорошо оправдывается на опыте, в частности и для металлов, что на первый взгляд не должно иметь места. В самом деле, в металлах число свободных электронов порядка числа атомов; каждый свободный электрон с классической точки зрения обладает средней кинетической энергией sIji0T, что вносит
1J Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики.— M., 1973, гл. V, § 3. §11]
ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 179
в теплоемкость (11.4) дополнительный вклад
т. е. увеличивает Cv в полтора раза. Это одно из основных противоречий классической электронной теории металлов будет обсуждено в гл. VI, § 3.
2. Изучение теплоемкости твердых тел при низких температурах показывает, что закон Дюлонга и Пти (11.4) является асимптотическим законом, справедливым только при высоких температурах. При понижении температуры, начиная с некоторой характеристической температуры Tc (так называемой температуры Дебая), теплоемкость начинает быстро уменьшаться и при T—>-0, Cr—Температура Дебая Tc различна для разных веществ, но для большинства твердых тел она порядка 100-—400 0K- Неприменимость закона Дюлонга и Пти к твердым телам при низких температурах обусловлена тем, что при понижении температуры уменьшаются средние скорости движения атомов кристалла и, следовательно, увеличивается соответствующая им дебройлевская длина волны. Из квантовой механики известно, что когда дебройлевская длина волны частицы становится сравнимой или превышает линейные размеры эффективной области движения, движение не подчиняется законам классической механики. По-этому, трактуя нормальные колебания кристалла с квантовой точки зрения, мы должны приписать им, согласно (10.4), энергию
eN = fi(o(N+43), (11.5)
где мы опустили индексы q и /, характеризующие выбранный осциллятор.
Вероятность того, что в состоянии статистического равновесия осциллятор находится в N-и квантовом состоянии с энергией бд-, равна по Больцману, wN = ce~e^k',T. Постоянная с определяется из условия нормировки 1wN = c1e~BNlk°T = ij от-
N N
куда с = ^26-8^°7^-1- Средняя энергия осциллятора равна
сумме энергий помноженных на соответствующие вероятности Wn, т. е.
і eNe~e^T
Є = 2 N = с У = -. (11.6)
N = 0 N = о 2 e~eN/k«T
N = 0
Для вычисления (11.6) введем так называемую сумму состояний
Z= 2 e-R«lk°T. (11.7)
N = 0 180 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Тогда
VnrOI-SJ
что можно непосредственно проверить, дифференцируя выражение (11.7).
С другой стороны, используя (11.5), получим ® 00 Z = 2 е~г^'к°Т 2 e-Nhb>/k°T =
N = O N = О
. . . „-AC0/2 к„Т
— е-Ъи,11к„Т j-] _ _ j— e ^ (11.9)
по формуле для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Подставляя результат (11.9) в выражение (11.8) и дифференцируя по аргументу ItkaT, получим
