Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 70

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 217 >> Следующая


Мы объединили в одном параграфе явления теплового расширения и теплопроводности твердого тела, так как они оба определяются ангармонической частью сил взаимодействия атомов. Как тепловое расширение, так и тепловое сопротивление1) (равное 1/и, где X—коэффициент теплопроводности) исчезают, если положить коэффициент ангармоничности Y = O-

Мы рассмотрим тепловое расширение на простой модели двух взаимодействующих атомов. Эта модель дает возможность выяснить не только принципиальную сторону явления, но и позволяет определить правильный порядок величины коэффициента теплового расширения.

В теплопроводности мы ограничимся некоторыми общими соображениями и определим коэффициент теплопроводности при высоких температурах из соображений размерности.

1. Рассмотрим два атома, которые при малых отклонениях от положения равновесия x = R— R0 взаимодействуют друг с другом по закону (1.3), т.е. с силой

F = —g- = -?x+Y*a (13.1)

1J Обусловленные фонои-фононным взаимодействиемі 192 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III

и потенциальной энергией

U = - Рл*—Lyxs. (13.1а)

Вероятность отклонения атома от положения равновесия на величину X равна по Больцману

f {х) = Aexp Ae-W^ (l+-g^) ( (13.2)

где экспонента, соответствующая ангармоническому члену, разложена в ряд

ехо (Л^.) ~ і і ^3

ехр [ U0T J ~ 1 + Sk0T • Постоянная А в выражении (13.2) определяется из условия нормировки:

+ OD +00

\jf(x)dx = A J e-»'w(i+-^r)dx=l.

— 00 — со

Интеграл от второго слагаемого, пропорционального у, равен нулю ввиду нечетности подынтегральной функции; поэтому (Приложение 7)

A-( P У/2

Л - 2nk0T ) •

Среднее отклонение атома от положения равновесия + в

х= J xf(x)dx =

-WT T^= jJ^. 03.3)

— со

где интеграл от первого слагаемого, содержащего множитель х, вновь равен нулю ввиду нечетности подынтегральной функции. Интеграл от второго слагаемого вычисляется элементарно (Приложение 7).

По определению коэффициент линейного теплового расширения а есть удлинение в расчете на единицу длины и на 1°С; таким образом,

а = = (13-4>

где a = R0—постоянная решетки. Мы видим, что коэффициент теплового расширения пропорционален коэффициенту ангармоничности и при 7 = 0 равен нулю.

Для примера рассмотрим одновалентный ионный кристалл. В этом случае можно положить:

е2 В

E = I- - (13.5) $13] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА

193

Здесь —e*/R2— кулоновское притяжение между соседними разноименными недеформируемыми ионами, B/R10—сила отталкивания между этими же ионами, быстро возрастающая при уменьшении расстояния между ними R (пропорциональность этой силы R~10 достаточно хорошо аппроксимирует экспоненциальную зависимость, получаемую при квантовомеханическом расчете).

е2 В

В равновесии F = O=—^r -f -^r , где a = R0 — равновесное расстояние между ближайшими ионами. Отсюда ? = e2a8.

Так как R = CtjrX, то для малых х

г^ ¦ є^оР 8^ і 52л /1 о

--+ (13-6)

Из сравнения с уравнением (13.1) следует:

? = 8е2/а3, у = 52е3/а4. (13.6а)

Подставляя результат (13.6а) в выражение (13.4), получим

а = 52а?0/64е2. (13.66)

Для a = 3-10"8 см, /г0 = 1,38-10-16 эрг/град, ? = 4,8-10~i°CGSE, получим а= 1,5-IO-J град'1, что дает правильную по порядку величину.

2. Впервые Дебай (1914) показал, что тепловое сопротивление в твердом теле обусловлено энгармонизмом колебаний атомов и что, если учитывзть колебания только в гармоническом приближении, то тепловое сопротивление равно нулю. Это утверждение представляется достаточно наглядным—для гармонических волн имеет место принцип линейной суперпозиции, согласно которому волны распространяются в кристалле независимо, не рассеиваясь друг на друге. В такой модели тепловое сопротивление равно нулю, так как тепловой поток распространяется со скоростью звука. Ввиду того, что плоской гармонической волне с определенным волновым вектором q соответствует фонон с квазиимпульсом %q и энергией fmq, можно сказать, что в гармоническом приближении фононы не взаимодействуют, т. е. не сталкиваются друг с другом. В общем случае в кристаллической решетке энгармонизм учитывается членами третьей степени в смещениях атомов и„а в разложении потенциальной энергии Ф(м) (см. (5.2)). Теория показывает, что если учитывать анагармонические члены в потенциальной энергии Ф (и) как малое возмущение, то это приводит к представлению о возможности одновременного «столкновения» трех фононов. При этом процессы столкновения имеют следующий характер — либо два фонона превращаются в один, либо один фонон распадается на два. Таким образом, в процессе «столкновения» квазичастицы фононы рождаются и исчезают. Последовательная теория тепло- 194 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III

проводности кристаллов, основанная на кинетическом уравнении для фононов, была развита Пайерлсом (1929).

В этом параграфе мы ограничимся определением коэффициента теплопроводности к для высоких температур Т^>ТС из соображений размерности. Как теория Дебая, так и другие более последовательные теории приводят к заключению, что при высоких температурах (Т^>ТС) коэффициент теплопроводности х обратно пропорционален абсолютной температуре Т. С другой стороны, коэффициент теплопроводности пропорционален длине свободного пробега фонона I, а последняя обратно пропорциональна вероятности рассеяния фонона, которая в свою очередь пропорциональна квадрату матричного элемента энергии возмущения. Так как энергия ангармонического возмущения пропорциональна у и, следовательно, квадрат матричного элемента пропорционален Y2, то коэффициент теплопроводности обратно пропорционален у2. Таким образом,
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed