Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы объединили в одном параграфе явления теплового расширения и теплопроводности твердого тела, так как они оба определяются ангармонической частью сил взаимодействия атомов. Как тепловое расширение, так и тепловое сопротивление1) (равное 1/и, где X—коэффициент теплопроводности) исчезают, если положить коэффициент ангармоничности Y = O-
Мы рассмотрим тепловое расширение на простой модели двух взаимодействующих атомов. Эта модель дает возможность выяснить не только принципиальную сторону явления, но и позволяет определить правильный порядок величины коэффициента теплового расширения.
В теплопроводности мы ограничимся некоторыми общими соображениями и определим коэффициент теплопроводности при высоких температурах из соображений размерности.
1. Рассмотрим два атома, которые при малых отклонениях от положения равновесия x = R— R0 взаимодействуют друг с другом по закону (1.3), т.е. с силой
F = —g- = -?x+Y*a (13.1)
1J Обусловленные фонои-фононным взаимодействиемі192 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
и потенциальной энергией
U = - Рл*—Lyxs. (13.1а)
Вероятность отклонения атома от положения равновесия на величину X равна по Больцману
f {х) = Aexp Ae-W^ (l+-g^) ( (13.2)
где экспонента, соответствующая ангармоническому члену, разложена в ряд
ехо (Л^.) ~ і і ^3
ехр [ U0T J ~ 1 + Sk0T • Постоянная А в выражении (13.2) определяется из условия нормировки:
+ OD +00
\jf(x)dx = A J e-»'w(i+-^r)dx=l.
— 00 — со
Интеграл от второго слагаемого, пропорционального у, равен нулю ввиду нечетности подынтегральной функции; поэтому (Приложение 7)
A-( P У/2
Л - 2nk0T ) •
Среднее отклонение атома от положения равновесия + в
х= J xf(x)dx =
-WT T^= jJ^. 03.3)
— со
где интеграл от первого слагаемого, содержащего множитель х, вновь равен нулю ввиду нечетности подынтегральной функции. Интеграл от второго слагаемого вычисляется элементарно (Приложение 7).
По определению коэффициент линейного теплового расширения а есть удлинение в расчете на единицу длины и на 1°С; таким образом,
а = = (13-4>
где a = R0—постоянная решетки. Мы видим, что коэффициент теплового расширения пропорционален коэффициенту ангармоничности и при 7 = 0 равен нулю.
Для примера рассмотрим одновалентный ионный кристалл. В этом случае можно положить:
е2 В
E = I- - (13.5)$13] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА
193
Здесь —e*/R2— кулоновское притяжение между соседними разноименными недеформируемыми ионами, B/R10—сила отталкивания между этими же ионами, быстро возрастающая при уменьшении расстояния между ними R (пропорциональность этой силы R~10 достаточно хорошо аппроксимирует экспоненциальную зависимость, получаемую при квантовомеханическом расчете).
е2 В
В равновесии F = O=—^r -f -^r , где a = R0 — равновесное расстояние между ближайшими ионами. Отсюда ? = e2a8.
Так как R = CtjrX, то для малых х
г^ ¦ є^оР 8^ і 52л /1 о
--+ (13-6)
Из сравнения с уравнением (13.1) следует:
? = 8е2/а3, у = 52е3/а4. (13.6а)
Подставляя результат (13.6а) в выражение (13.4), получим
а = 52а?0/64е2. (13.66)
Для a = 3-10"8 см, /г0 = 1,38-10-16 эрг/град, ? = 4,8-10~i°CGSE, получим а= 1,5-IO-J град'1, что дает правильную по порядку величину.
2. Впервые Дебай (1914) показал, что тепловое сопротивление в твердом теле обусловлено энгармонизмом колебаний атомов и что, если учитывзть колебания только в гармоническом приближении, то тепловое сопротивление равно нулю. Это утверждение представляется достаточно наглядным—для гармонических волн имеет место принцип линейной суперпозиции, согласно которому волны распространяются в кристалле независимо, не рассеиваясь друг на друге. В такой модели тепловое сопротивление равно нулю, так как тепловой поток распространяется со скоростью звука. Ввиду того, что плоской гармонической волне с определенным волновым вектором q соответствует фонон с квазиимпульсом %q и энергией fmq, можно сказать, что в гармоническом приближении фононы не взаимодействуют, т. е. не сталкиваются друг с другом. В общем случае в кристаллической решетке энгармонизм учитывается членами третьей степени в смещениях атомов и„а в разложении потенциальной энергии Ф(м) (см. (5.2)). Теория показывает, что если учитывать анагармонические члены в потенциальной энергии Ф (и) как малое возмущение, то это приводит к представлению о возможности одновременного «столкновения» трех фононов. При этом процессы столкновения имеют следующий характер — либо два фонона превращаются в один, либо один фонон распадается на два. Таким образом, в процессе «столкновения» квазичастицы фононы рождаются и исчезают. Последовательная теория тепло-194 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
проводности кристаллов, основанная на кинетическом уравнении для фононов, была развита Пайерлсом (1929).
В этом параграфе мы ограничимся определением коэффициента теплопроводности к для высоких температур Т^>ТС из соображений размерности. Как теория Дебая, так и другие более последовательные теории приводят к заключению, что при высоких температурах (Т^>ТС) коэффициент теплопроводности х обратно пропорционален абсолютной температуре Т. С другой стороны, коэффициент теплопроводности пропорционален длине свободного пробега фонона I, а последняя обратно пропорциональна вероятности рассеяния фонона, которая в свою очередь пропорциональна квадрату матричного элемента энергии возмущения. Так как энергия ангармонического возмущения пропорциональна у и, следовательно, квадрат матричного элемента пропорционален Y2, то коэффициент теплопроводности обратно пропорционален у2. Таким образом,