Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
*) Та м м И. Е. Основы теории электричества.— 9 изд.— M.: Наука, 1976, § 28. і 9]
ПРИБЛИЖЕНИЕ ИЗОТРОПНОГО КОНТИНУУМА
171
Исключая из (9.19) и (9.20) эффективное поле Ee, получим
і—j-«
Для того чтобы исключить из формул неизмеряемую непосредственно поляризуемость а, будем исходить из выражения для вектора индукции 1J
D- E 4лЯ (9.22)
где є—диэлектрическая постоянная 2); отсюда
„ 8-І
4л
Е. (9.23)
В высокочастотном (со—>¦ оо) электрическом поле ионы не успевают следовать за его изменением, поэтому s—»-0. Исключим для этого случая P из (9.21) (где мы положим s = 0) и (9.23)
(где мы положим є = E00); тогда поляризуемость
« = ¦ (9-24)
Подставляя это значение а в (9.21), получим
P=N0 e*(e- + 2)s+^l?. (9.25)
Подставляя это значение P в (9.19), которое затем используется для исключения Ee из (9.18), получим
= (9.26)
где
СО3 = JL_l5^?2dJ). (9.26а)
tn jt MtTL f
Введем «нормированное» отклонение
W = VNjnrS (9.27)
и подставим его в (9.26) и (9.25); тогда
т(9.28)
Y tn г о
=
V тг
(9.29)
1J Тамм И, Е. Основы теории электричества.— 9 изд.— M.: Наука, 1976, § 22.
г) Мы используем здесь привычное обозначение для диэлектрической постоянной, не опасаясь, что є будет спутано с энергией. 172 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Если ввести статическую диэлектрическую постоянную е„ (со—>-0) в постоянном электрическом поле, то из (9.23) и (9.29) следует
80-ew = g-V»4jl(e"+2)\ (9.30)
тг 9соо
Определим отсюда величину (Nt/mr)e*2 и подставим ее в (9.28) и (9.29), тогда получим _
5 = -0^ + 03,/?? (9.31)
и
P = V0 Vr(9.32) Для определения характера движения ионов мы положим
W = Wt+ W1, (9.33)
где
div wf = 0, rotw, = 0. (9.34)
Известно, что такое представление любого вектора (w) в виде суммы'соленоидального вектора (Wt) и потенциального вектора (W1) всегда возможно и единственно1). В отсутствие свободных зарядов
div D = divE+ An div Я = 0. (9.35)
Если подставить сюда P из (9.32) и воспользоваться (9.33) и (9.34), то получим
div? + -^j/"4jx (Ee-Bjdivwl = Of (9.36)
"or
откуда
E = -^V4я (B0-Bjwl. (9.37)
є
Подставляя (9.33) и (9.37) в (9.31), получим
Ss (Щ + Щ) = -(O20Wt-ш?-f2-W1. (9.38)
boo
Разделяя в этом уравнении соленоидальную и потенциальную части, получим
^ = -CO Iwt, (9.39)
^ = -O(9.40)
Если мы представим Wt или W1 в виде плоской волны A exp[i (дг—ю*)], то получим из (9.39) и (9.40) для соответствующих частот: ®( = ш0 и % = (Be)Bj1ZsCo0.
J) Кочнн Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления.— 9 изд.— M.: Наука, 1965. J10] КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ. ФОИОНЫ 173
С другой стороны, подставляя в (9.34) выражения для плоской волны, получим
div Wt = div {At exp [г (qr—(ott)] с/э Atq = 0, 4
rot Wf = rot{^exp[i(0r —со^)]сл[Лг0] = О, ' '
откуда следует, что At]_q и At\\q, т. е. соленоидальная волна Wt поперечная, а потенциальная волна W1 продольная.
Из полученных выше выражений следует соотношение Лид-дена—Сакса — Теллера _
®t/«>t = V^fc. (9.42)
Так как е0 > E00 (см. (9.30)), то частота продольных волн сог больше частоты поперечных волн сог, что аналогично соотношению V1 > Vt для акустических волн (см. предыдущий пункт). Так как измерить на опыте сог проще, чем сог, то формула (9.42) может служить для определения COi.
§ 10. Квантование колебаний кристаллической решетки.
Фононы
1. Квантовомеханический гамильтониан в Q-представлении, соответствующий функции Гамильтона нормальных колебаний решетки (6.21), получается из нее при замене импульсов P1 (q) операторами
GyM = PyM-T Stfe)' (10Л>
где %—постоянная Планка, деленная на 2л, і = V — 1. Гамильтониан, следующий из (6.21), имеет вид
= + (10-2)
т. е. распадается на сумму, каждое слагаемое которой имеет вид гамильтониана линейного гармонического осциллятора с координатой Qf (q), частотой соj(q) и массой, равной единице. Если гамильтониан системы состоит из суммы, каждое слагаемое которой зависит только от одной координаты и оспряженного ей импульса, то, как известно из квантовой механики, волновая функция системы равна произведению волновых функций, соответствующих каждому слагаемому, а энергия равна сумме соответствующих энергий.
Рассмотрим отдельное слагаемое гамильтониана (10.2), причем для простоты записи спустим символы / и q у координаты Qj(q)\ тогда уравнение Шредингера, соответствующее такому линейному 174 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
осциллятору, имеет ВИД
P d2ij> 1
2 dq2
(O2Q2Il) = Ei]). (10.3)
Из квантовой механики известно1), что собственные значения и нормированные собственные функции этого уравнения имеют вид
= + (10.4а)
1N
(10.46)
Здесь N—квантовое число осциллятора, HN{i\ — полиномЭрмита
от безразмерной координаты \ = V(1 гxa>)/AQ = (Co^)1Z2Q.
Как мы увидим дальше, при изучении взаимодействия электронов проводимости с колебаниями решетки существенное значение имеют матричные элементы координаты Q и импульса P (10.1) на волновых функциях (10.46). Можно показать2), что они равны
