Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Так как ипа—составляющая вектора смещения, то аналогично (II.8.13)
Pg-Mkna= 2 Da(g-%,k'a',nkaUn'a'. (8.6)
n'k'a'
Матрица Da размерности 3sN осуществляет представление смещений всех атомов кристалла. Из (II.8.13) следует, что
Da (g-^n'k'a-, nka = A(g-%'a8„', ginfiv, g (к). (8.7)
Здесь Л(?-1)—матрица преобразований компонент полярного вектора ипа при преобразовании g-1 координатной системы; символы Кронекера 6„'f е(п), бS(k) учитывают, что в результате операции g атом (п, k) переходит на место атома того же сорта
Сn't k').
Подставляя (8.7) и (8.6) в (8.5) и преобразуя тождественно экспоненту, получим
Pg-Шка (q)=jf E e~iqa'n Un'a'A (g-^ae9^"1"^, g {n)ok., S <*>•
n, n', к', a'
(8.8) 160 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Так как операции g преобразует ап в а'п, то
iq (а„—а„) = iq (ga„—а„) = iq (Ra„ + ат+а—а„) =
= i[(R-1g-Q)a„ + q(am + a)l (8.9)
Если g-i—элемент группы волнового вектора Gq, то
R~lq = q или R~lq = q±bi (8.10)
(bi— вектор обратной решетки), ехр [i{R~1q — q)a„'\= l в обоих случаях, поэтому
Pg-'Uka (q) =
= 1Г E e-^'nUkn,aA(g^)a,aei4^+a4n^gW^,g(k). (8.11)
п, п', к'а'
Если просуммировать в правой части по п' и воспользоваться (8.3), то получим
Pg-'Uka(q)= S A(g-%,aeiq{a>"+a)ok.,g{k)uk,a,(q) (8.12)
* к', а'
(суммирование по п выполняется автоматически из-за наличия
МНОЖИТеЛЯ 6„',g(„)).
Покажем, что для симморфных групп волнового вектора Gq, а также для внутренних точек зоны Бриллюэна любых групп Gq матрицы A (g-1) exp[iq(a-j-am)]ok'yg(k} реализуют на базисных векторах uka{q) представления групп волнового вектора Gq размерности 3s. В самом деле, так как указанные выше матрицы содержат множитель ехр (iq (аат)\ то произведение матриц^= [R11 Ct1 + aj и gz = 1 a2 + a2} Для элементов группы Gq будет содержать множитель ехр [i<7 (Ct1 + ai + a2 + a2)].
В то время, как мы показали в (II. §9 п.4), что неприводимое представление F(^g1), в том случае содержит множитель: ехр [ід (R2CC1 + R2a1 + a2 + a3)] (П.9.31); обе экспоненты совпадают, если ехр [i<7 (Ct1 + at)] = ехр [iq (R2a + R2(I1)], т. е. ехр [t (/?-1?--^+(«і + Яі)]== 1, что, учитывая (8.10), выполняется либо для симморфных групп (CC1 = O), либо для внутренних точек зоны Бриллюэна (R^q = q)-
Раскладывая это представление размерности 3s по неприводимым представлениям группы Gq, мы можем классифицировать колебания кристалла в точке q его бриллюэновской зоны. Отметим близкую аналогию выражения (8.12) с (11.8.13), полученным при анализе колебаний многоатомных молекул.
Так как для разложения представления (8.7) по неприводимым представлениям группы волнового вектора Gq достаточно знать соответствующие характеры, определим характеры представления (8.7). Воспользовавшись (11.8.15), получим при собст- $ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 161
венном вращении на угол <р для характера представления Du (8.7):
г (С (ф) I а) = (1 + 2 COS ф) exp (iga) пс, (8.13)
где = C(H)—число атомов ячейки, остающихся на месте,
k
при преобразовании С(ф)==С.
Аналогично для зеркально-поворотного преобразования S(ф) ==S (II.8.18):
Xа (S (ф) ] а) = (-1 + 2cos ф) exp (iga) nSi (8.14)
где ns—число атомов ячейки, остающихся на месте при преобразовании 5(ф).
2. Применим теперь полученные нами результаты к исследованию колебаний в простом кубическом кристалле, рассмотренном в предыдущем параграфе.
Определим неприводимые представления группы волнового вектора Gq в центре бриллюэновской зоны (0 = 0), т. е. в точке Г (рис. III.13). Точка Г обладает симметрией куба^ОА = ОхС/; здесь О—группа симметрии осей куба, a Ci = IE, J}, где J — инверсия (гл. II, § 3). Табл. III.21) характеров группы Oh может быть получена по схеме табл. II.6, если воспользоваться табл. 11.7.
Для определения характеров представления (8.7) в точке Г воспользуемся выражением (8.13), в котором следует положить а = 0 и пс= 1. Кроме того, учтем, что для элементов, содержащих инверсию J,
Xа [JC (ф) I а] = — (1 + 2 cos ф) exp (iga) nCJ, (8.15)
как это следует из предыдущего вывода и из (И.8.14), если заменить в правой части все иа на — иа. В результате мы получим
Xа (E) = 3, Xa(C3) = 0, Xa(Cl) = -U Xa(C2) = -1, Xа (Ci) = U Xi(J) = -Z, Xa(JC3) = о, Xa(JCl)= 1,
Xa(JCi) = 1, Xa(JCi) = -1. (8.16)
Мы видим, что характеры представления D^ совпадают с характерами неприводимого представления T15 (табл. 111.2), но
*) Обозначения неприводимых представлений в табл. III.2 заимствованы из статьи Баукарта JI. П., Смолуховского Р., Вигнера Е. Теория зон Бриллюэна и свойства симметрии волновых функций в кристаллах./В кн. Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле.— M.: Наука, 1970, с. 187. Эти обозначения неприводимых представлений оправданы, по мнению Г. Джонса, «. . . так как они настолько установились в литературе, что их Использование представляется неизбежным». 162 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
тогда
Dur = T15, (8.17)
т. е. группе волнового вектора в центре бриллюэновской зоны соответствует трехкратно вырожденное неприводимое представление Г15.
