Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 69

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 217 >> Следующая


Atom _уДЯо

_ ?

Мы видим, что предельная частота (от, а следовательно, и Tc меняются при изменении «объема» A^0 только в ангармоническом приближении (y^=0). Так как ? и Y положительны, то при увеличении «объема» AR0 предельная частота уменьшается (А(от<0) и наоборот.

Таким образом, давление

Р = - (f)г = (?) (12.5)

если преобразовать интеграл в выражении (12.4а) по частям и воспользоваться обозначением (11.15а).

Введем в рассмотрение параметр Грюнейзена

VdTc d<om/(um d Incom ^ п /IOfi^

^as-TcWsss--WW----5W>U>

не зависящий от температуры. Из определения (12.6) видно, что он непосредственно связан с энгармонизмом взаимодействия §12] УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 189

атомов. В простом одномерном случае, рассмотренном выше,

_ AaWtoffl _ у#о /19 R^

Ve--AТйЩ--f- (12.6а)

В гармоническом приближении (у = 0) параметр Грюнейзена Yg = O. Обозначая зависящую от температуры часть внутренней энергии через <§T = 3Nk0TD (TJT), получим уравнение состояния твердого тела

P = -dA.+ W^L1 (12.7)

где первый член правой части от T не зависит.

2. Выведем из уравнения состояния так называемое соотношение Грюнейзена. Дифференцируя выражение (12.7) по Г и

учитывая, что {-ф-^у — ^, получим

дР \ __ уасу п9 Rv

W J у--— ¦ 0 )

Воспользуемся термодинамическим тождеством 1J

fl(f)t(f)r-' с«-«

)r(-|r)v. (12.9а)

и запишем его в виде

дУ \__( дУ

дТ Jр~ V дР

( дР \ , ( dV \ что возможно, так как (-^7-L = 1: ("^p-J7- и т- Д-

Вводя коэффициент линейного теплового расширения

* = (12.11)

и изотермическую сжимаемость

V V дР

получим из равенств (12.9а), (12.10), (12.11) и (12.8) соотношение Грюнейзена

ZVa = у Gkcv. (12.12)

Опыт показывает, что, действительно, левая и правая части этого равенства имеют одинаковую температурную зависимость, если считать, что уа от температуры не зависит. Изучая на опыте изменение сжимаемости k при больших давлениях Р, можно независимо определить постоянную Грюнейзена Ye. которая хорошо совпадает с вычисленной из уравнения (12.12).

!) А н с е л ь м А. И. Основы статистической физики и термодинамики,— M., 1973, с. 117. 190

КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ

[ГЛ. III

3. Рассмотрим газ равновесных фононов в континуальном (дебаевском) приближении. Число равновесных фононов в интервале частот (со, co + dco) равно

7- <12-13>

Здесь N—среднее число фононов в элементарной ячейке фазового пространства (11.10а), a g(со)—функция распределения частот в континуальном приближении (9.15). Энергия этих фононов .. ... зуі (o3d<a /юілч

(12.14)

d<§(о = ha) dNs



-1

Если заменить в этом выражении множитель 3 на 2, в соответствии с только двумя возможными (поперечными) поляризациями фотона, и скорость звука V0 — на скорость света с, то получим известную формулу Планка для распределения энергии в спектре черного излучения. Полное число фононов в объеме V равно

N=\dN

3V

(Arn

2nV0

со2 d<a

3V

JlQlkaT .

2л2і>о

kaT

Тс/Т

X2 dx ex—\

(12.15)

где Tc — температура Дебая.

Из выражения (12.15) следует, что при Т<^ТС, когда с точностью до величин порядка е~Тс1Т можно заменить верхний предел интеграла на оо, число фононов NocVT3. Для высоких

температур, когда Т^> Tc и можно под знаком интеграла положить ех — 1 ft? ftsx, число фононов NcoVT. На рис. III.20 представлена зависимость концентрации фононов N/V от температуры Т.

Полная энергия фононов в объеме V равна

- 3^ Г <Д3 du о

(12.16)

энергией нормальных колеба-энергия нормальных колебаний фононов, распределенных по за-

Рис. III. 20.

что в точности совпадает с ний (11.12). Таким образом, решетки совпадает с энергией кону Бозе—Эйнштейна.

В термодинамике показывается1), что свободная энергия

S (T) dT

^=-7I

у 2

(12.17)

1J А. И. А нее ль м, с. 110. $13]

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА

191

где S(T)— внутренняя энергия системы. Неопределенный интеграл в (12.17) соответствует неопределенной аддитивной константе в выражении для свободной энергии. Если подставить в (12.17) S(T) из уравнения (12.16) и произвести интегрирование по Т, то получим свободную энергию, совпадающую с W—S0-^t в выражении (12.4а). Мы можем теперь смотреть на ?т в (12.4а) как на свободную энергию фононного газа, а на уравнения

(12.5) и (12.7) без члена --как на уравнения состояния

фононного газа. Как мы указывали выше, в гармоническом приближении параметр Грюнейзена Yg = O- поэтому в этом приближении давление фононного газа равно нулю.

В ангармоническом приближении давление фононного газа

/Vh=YG-^l' (12-18)

как это следует из выражения (12.7).

Анализ вопроса показывает, что поток импульса, связанный с плоской гармонической бегущей волной с определенным квазиимпульсом %q, равен нулю, т. е. фонон не обладает импульсом (количеством движения). В этом фонон существенно отличается от фотона, который обладает импульсом %к (к—волновой вектор фотона).

§ 13. Тепловое расширение и теплопроводность твердого тела
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed