Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Atom _уДЯо
_ ?
Мы видим, что предельная частота (от, а следовательно, и Tc меняются при изменении «объема» A^0 только в ангармоническом приближении (y^=0). Так как ? и Y положительны, то при увеличении «объема» AR0 предельная частота уменьшается (А(от<0) и наоборот.
Таким образом, давление
Р = - (f)г = (?) (12.5)
если преобразовать интеграл в выражении (12.4а) по частям и воспользоваться обозначением (11.15а).
Введем в рассмотрение параметр Грюнейзена
VdTc d<om/(um d Incom ^ п /IOfi^
^as-TcWsss--WW----5W>U>
не зависящий от температуры. Из определения (12.6) видно, что он непосредственно связан с энгармонизмом взаимодействия§12] УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 189
атомов. В простом одномерном случае, рассмотренном выше,
_ AaWtoffl _ у#о /19 R^
Ve--AТйЩ--f- (12.6а)
В гармоническом приближении (у = 0) параметр Грюнейзена Yg = O. Обозначая зависящую от температуры часть внутренней энергии через <§T = 3Nk0TD (TJT), получим уравнение состояния твердого тела
P = -dA.+ W^L1 (12.7)
где первый член правой части от T не зависит.
2. Выведем из уравнения состояния так называемое соотношение Грюнейзена. Дифференцируя выражение (12.7) по Г и
учитывая, что {-ф-^у — ^, получим
дР \ __ уасу п9 Rv
W J у--— ¦ 0 )
Воспользуемся термодинамическим тождеством 1J
fl(f)t(f)r-' с«-«
)r(-|r)v. (12.9а)
и запишем его в виде
дУ \__( дУ
дТ Jр~ V дР
( дР \ , ( dV \ что возможно, так как (-^7-L = 1: ("^p-J7- и т- Д-
Вводя коэффициент линейного теплового расширения
* = (12.11)
и изотермическую сжимаемость
V V дР
получим из равенств (12.9а), (12.10), (12.11) и (12.8) соотношение Грюнейзена
ZVa = у Gkcv. (12.12)
Опыт показывает, что, действительно, левая и правая части этого равенства имеют одинаковую температурную зависимость, если считать, что уа от температуры не зависит. Изучая на опыте изменение сжимаемости k при больших давлениях Р, можно независимо определить постоянную Грюнейзена Ye. которая хорошо совпадает с вычисленной из уравнения (12.12).
!) А н с е л ь м А. И. Основы статистической физики и термодинамики,— M., 1973, с. 117.190
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ
[ГЛ. III
3. Рассмотрим газ равновесных фононов в континуальном (дебаевском) приближении. Число равновесных фононов в интервале частот (со, co + dco) равно
7- <12-13>
Здесь N—среднее число фононов в элементарной ячейке фазового пространства (11.10а), a g(со)—функция распределения частот в континуальном приближении (9.15). Энергия этих фононов .. ... зуі (o3d<a /юілч
(12.14)
d<§(о = ha) dNs
-1
Если заменить в этом выражении множитель 3 на 2, в соответствии с только двумя возможными (поперечными) поляризациями фотона, и скорость звука V0 — на скорость света с, то получим известную формулу Планка для распределения энергии в спектре черного излучения. Полное число фононов в объеме V равно
N=\dN
3V
(Arn
2nV0
со2 d<a
3V
JlQlkaT .
2л2і>о
kaT
Тс/Т
X2 dx ex—\
(12.15)
где Tc — температура Дебая.
Из выражения (12.15) следует, что при Т<^ТС, когда с точностью до величин порядка е~Тс1Т можно заменить верхний предел интеграла на оо, число фононов NocVT3. Для высоких
температур, когда Т^> Tc и можно под знаком интеграла положить ех — 1 ft? ftsx, число фононов NcoVT. На рис. III.20 представлена зависимость концентрации фононов N/V от температуры Т.
Полная энергия фононов в объеме V равна
- 3^ Г <Д3 du о
(12.16)
энергией нормальных колеба-энергия нормальных колебаний фононов, распределенных по за-
Рис. III. 20.
что в точности совпадает с ний (11.12). Таким образом, решетки совпадает с энергией кону Бозе—Эйнштейна.
В термодинамике показывается1), что свободная энергия
S (T) dT
^=-7I
у 2
(12.17)
1J А. И. А нее ль м, с. 110.$13]
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА
191
где S(T)— внутренняя энергия системы. Неопределенный интеграл в (12.17) соответствует неопределенной аддитивной константе в выражении для свободной энергии. Если подставить в (12.17) S(T) из уравнения (12.16) и произвести интегрирование по Т, то получим свободную энергию, совпадающую с W—S0-^t в выражении (12.4а). Мы можем теперь смотреть на ?т в (12.4а) как на свободную энергию фононного газа, а на уравнения
(12.5) и (12.7) без члена --как на уравнения состояния
фононного газа. Как мы указывали выше, в гармоническом приближении параметр Грюнейзена Yg = O- поэтому в этом приближении давление фононного газа равно нулю.
В ангармоническом приближении давление фононного газа
/Vh=YG-^l' (12-18)
как это следует из выражения (12.7).
Анализ вопроса показывает, что поток импульса, связанный с плоской гармонической бегущей волной с определенным квазиимпульсом %q, равен нулю, т. е. фонон не обладает импульсом (количеством движения). В этом фонон существенно отличается от фотона, который обладает импульсом %к (к—волновой вектор фотона).
§ 13. Тепловое расширение и теплопроводность твердого тела