Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для определения группы волнового вектора в точке А (см. рис. III.13) рассмотрим, под действием каких элементов группы вектор дд остается без изменения.-Легко видеть, что это будут элементы группы Civ--E, Cl (ось qx), 2Ci(qx), 2 JC2i (оси qv и qz), 2/C2; заметим, что операции JC2i и /C2—отражения в плоскостях, перпендикулярных к осям C4 и C2, проходящих через ось qx. Точка T зоны Бриллюэна удовлетворяет той же группе точечной симметрии Civ (здесь надо учесть, что на четырех вертикальных ребрах куба имеются четыре эквивалентные точки Т). Составим теперь по общему рецепту табл. III.3 характеров группы Gg^ и Gq1.. Аналогично могут быть составлены таблицы
характеров групп волновых векторов, направленных к точкам Л и E (точка S имеет ту же симметрию, что и точка Б) (табл. III.4).
Таблица III.2
Oh E 8 C3 ЗС; 6С2 6С4 J 8 JC3 3 JCl 6 JC3 6JC4
T1 1 1 I 1 I 1 I 1 1 1
Гг 1 1 1 —1 —1 1 1 1 —1 —1
T12 2 — 1 2 0 0 2 — 1 2 0 0
г;5 3 0 — 1 —1 1 3 0 — 1 — 1 I
3 0 — 1 1 —1 3 0 — 1 1 —1
г; I I I 1 I I —I I — 1 1
г; 1 1 I —I —1 —1 —I —I I 1
Ги 2 —1 2 0 0 —2 1 —2 0 0
г15 3 0 — 1 —I 1 —3 0 1 1 —1
Гаь 3 0 —1 1 —I —3 0 1 —1 1 $ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 163
Таблица III.3
д, т E C^ 2 JC2 2 JC24 2 C4
A1 1 1 1 1 1
д; 1 1 — 1 — 1 1
A2 1 1 —1 1 — 1
А І 1 1 1 — 1 —1
A5 2 —2 0 0 0
у U г» 3 — 1 1 1 1
Таблица III.4
Л E 2С3 3 J C2
A1 A2 A3 1 1 2 1 1 — 1 1 0
Ti5 3 0 1
2, S E C2 JCl JC2
S1 1 1 1 1
S2 1 1 —1 —1
23 V 1 1 —1 —1 —1 1 1 —1
Гн 3 —1 1 1
а) б)
Неприводимые представления группы волнового вектора qд могут быть определены двумя способами. Во-первых, мы можем определить характеры представления D1I (8.7) для группы Сы: r(E) = 3, ZMQ=-I, Xa(C1)=U Xa(^C24) = I, t (JC9)=L (8.18)
Эти характеры выписаны в последней строке табл. III.3. Разлагая представление D% с характерами (8.18) по неприводимым представлениям группы Civ, получим
Dl = A1 + ^. (8.19)
Тот же результат может быть получен, если учесть, что переход из центра бриллюэновской зоны Г на линию А связан с уменьшением симметрии от Oh до Clv. Такое понижение симметрии, как известно (гл. II, § 7, п. 2), вызовет расщепление уровня Г15. 164 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Выписывая характеры Г15, соответствующие классам группы Civ, видим, что они совпадают с характерами (8.18), поэтому, действуя по общему рецепту, получим
T15 = A^A5, (8.19а)
т. е. трехкратно вырожденное в центре состояние Г15 расщепляется вдоль линии А на невырожденное состояние A1 и дважды вырожденное состояние A61).
Однако первый способ, использукщий (8.18), имеет то преимущество, что он применим и к точке T (см. рис. III.13), не соприкасающейся с центром Г, но обладающей той же симметрией Civ, что и точка А.
Сравнивая (8.19а) с аналитическим решением уравнений механики в предыдущем параграфе (табл. III.1, рис. III.14, а), мы видим, что теория групп только на основании соображений, связанных с симметрией кубической решетки, предсказывает существование вдоль линии А зоны Бриллюэна двух ветвей колебаний— невырожденной продольной (A1) и дважды вырожденной поперечной (A5). Аналогично для линии Л получим из табл. III.4
Г15 = A1 + A3, (8.20)
т. е. трехкратно вырожденное состояние Г15 вдоль линии Л (см. рис. III.13) расщепляется на единичное представление A1 и дважды вырожденное представление A3.
Мы уже отмечали, что симметрия точки R совпадает с симметрией точки Г, поэтому очевидно, что в точке R состояния A1 и A3 сливаются в трехкратно вырожденное состояние. Тем самым качественно описывается дисперсионная картина на рис. III.14, б. Наконец, на линии 2 получим из табл. III.4
1^ = 2, + 2, + 2,. (8.21)
Таким образом, вдоль линии 2 происходит полное расщепление состояния Г1В на три невырожденных состояния, как это следует и из аналитического решения (табл. III.1, в, рис. III.14,в).
Мы видим, что состояние Г15 в центре бриллюэновской зоны при смещении вдоль линии A, A и 2 однозначно разлагается на состояния (8.19а), (8.20) и (8.21). Вообще, если элементы симметрии соприкасаются, то неприводимые представления группы более высокой симметрии однозначно разлагаются на неприводимые представления групп более низкой симметрии. Эти условия носят название соотношений совместности. В табл. III.5 представлены соотношения совместности между неприводимыми представлениями в точке Г и точках A, A и 2.
]) Именно поэтому неприводимому представлению Г16 приписывается индекс «15». $ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 165
Для завершения группового анализа ветвей колебаний простого кубического кристалла надо составить таблицы характеров групп волновых векторов для точек X и М, имеющей ту же симметрию, и Z.
Таблица III.5
T1 г2 г12 ГІ5 г;5
л, А» AiA2 AiA3 AaA5
A1 А, A3 A2A3 A1A3
S1 S4 S1S4 S2S3 S^ S1S2S3
г; Г2 Г'и Г15 г25
A1' А; А1Л2 A1A5 A2A5
л, А, A3 AiA3 A2A3
V S3 S2S3 SiS3S4
Для определения группы волнового вектора точки X (и M) следует учесть, что точка X приобретает по сравнению с точкой А дополнительные элементы симметрии, связанные с инверсией J точки Л'; при этом мы получаем эквивалентный вектор q, отличающийся от исходного на вектор обратной решетки 2яja. Таким образом, группа волнового вектора Gqx = Gq^xCi и ее
