Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
uLRe {Єіак(д) К {q)Pj {q)]eigan} (6-23)
(Re{...}—вещественная часть выражения, в фигурной скобке).
Покажем, что возбуждению одной нормальной координаты Qj- (q) соответствует бегущая волна с волновым вектором q и частотой (Hjiq).
Если только одна нормальная координата Qj (q) отлична от нуля, то сумма в (6.22) превращается в одно слагаемое
=7? Re {«/* (?) [ Q/ (?) + pJ (?) ] ^n} • (6-24)
Так как Qj (q) — нормальная координата, то Qj (q) и ^ Pj (q)
гармонически зависят от времени, т. е. пропорциональны ехр (—i(Hj(q)t). Обозначая комплексную амплитуду в фигурной скобке через Ca(q)eif (множитель, стоящий перед Re{...}, включен в Ca (q)), получим
Ukna = Re {Ca (q) е'w«»>-V*x+«pjt (6.25)
откуда следует
Um = Ca (q) COS (qa„ — (aj (q) t + q>), (6.26)
где C(q)—амплитуда плоской волны, распространяющейся в направлении волнового вектора q, с частотой о)j(q); ф—фаза этой волны. Мы видим, что нормальным координатам Qj(q), введенным посредством канонического преобразования (6.16), соответствуют бегущие волны (6.26). S 7]
КОЛЕБАНИЯ ПРОСТОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
151
4. В предыдущем параграфе было показано, что для простой решетки (решетки Браве) амплитуды Aja вещественны. Очевидно,
to жє Имеет МеСТО для собственных ВеКТОрОВ є/а1).
Из (6.4а) следует, что для простой решетки
Una = -^=-Yle^W ^aJ 0 ^n+ ^fa. і)е~іда"}. (6.27) чі
Здесь M — масса атома, а штрих у суммы означает, что суммирование по q ведется по половине бриллюэновской зоны. Наконец, из (6.23) для простой решетки следует
У NM
41
pj (cl)
Yd ei* fa) Q і fa) cos qa„—sin qan
(6.28)
§ 7. Колебания простой кубической решетки
1. Рассмотрим простую кубическую решетку, в каждом узле которой помещен атом массы т.
На рис. III. 12 изображена простая кубическая решетка и прямоугольная координатная система х, у, z с началом в атоме О. Шесть ближайших ®-атомов расположены на расстоянии а от центрального О-атома (первая координационная группа). Следующие 12 атомов, расположенные наиболее близко к О (вторая координационная группа), находятся от О на расстоянии а Из них атомы 1, 2, 3, 4 лежат в плоскости ху, атомы 5, 6,7, 8—в плоскости yz и атомы 9, 10, 11, 12—в плоскости XZ2).
Для упрощения записи обозначим вектор прямой решетки
а„ =п1а1 + п2а (а1 = а2 = а3
I- п,ла3 = п -а). (7.1)
Рис. III. 12.
Из (5.2) следует, что сила, действующая на атом («, k) в направлении а, при смещении атома («', k') в направлении ?
1) При суммировании в (6.12) по половине бриллюэновской зоны следует опустить множитель 1 /2.
а) Учет взаимодействия со второй координационной группой необходим для обеспечения стабильности решетки. 152 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
на величину «?'<?, в линейном приближении равна
В случае простой решетки индексы k и k' отсутствуют и сила, действующая на атом в начале координат (« = 0) в направлении оси а, при смещении атома п' (= «) в направлении ? на величину Utifi, равна
(7-3)
Сила (7.3) может быть выражена через константу квазиупругой связи аа, зависящую, вообще говоря, от расстояния между атомами п = \п\. Имеем
= ^u-P-T--T. (7-4)
где tt? и па—проекции расстояния п на оси ? и а. Отсюда
При определении Dafi(Q) по формуле (5.10а) необходимо суммировать по всем п', в том числе и по я' = 0; в то же время формулы (7.4) и (7.5) применимы только в случае пф0 (мы заменили п' на «).
Для того чтобы определить 0?, воспользуемся соотношением (5.36), откуда
2 ФаЗ- (7-6)
(и ф 0)
Из (5.10а), (7.5) и (7.6) следует для динамической матрицы
Dafi(Q)=^ E Oh ^ge-(1-е*«), (7.7)
(пф 0)
где т.—масса атома.
Вычислим Dxx(q). Легко видеть, что произведение пхпх = п% отлично от нуля только для двух в-атомов, лежащих на оси х (рис. 111.12), поэтому для первой координационной группы
??(<7)=~г E «ІО-**") =
тіпф 0)
= ? [1 -е**" + 1 -е= ^ О -cos qxa) = fe sin2 q-f. (7.8)
Четыре атома второй координационной группы (5, 6, 7, 8; рис. III.12) вклада в D^ не дают, так как для них пх = 0, Учиты- S 7] КОЛЕБАНИЯ ПРОСТОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 153
вая вклад восьми остающихся атомов второй координационной группы, получим
(ПФО)
= -?- (yf )2 [8—2 cos (<?*а + Qya)-2cos(<7*а—<7г/а) —
— 2 cos (<7жа + <7га) — 2 cos (^a — qza) = 2а
= [2—cos qxa cos qya—cos qxa cos qza\. (7.9)
При вычислении этой суммы, например, атомы 1 и 3 (рис. III. 12) дают
(1 _е' (<?*«+V') + (1 -е"' ^+V0) = 2-2 cos (qxa + qya),
аналогично другие пары атомов. Из (7.8) и (7.9) следует, что
Dxx(q)=D%(q)+D%(q) =
= sin2 ^ + I2 [2-cos <7яа (cos qya + cosqza)]. (7.10)
Остальные диагональные члены динамической матрицы Dyy (q) и Dzz (q) получаются из (7.10) посредством циклической перестановки индексов X, у и 2.
Недиагональные члены динамической матрицы, например,
= ? «„^(1-^»). (7.11)
(я=#=0)
Атомы первой координационной группы вклада в Dxy (q) не вносят, так как для них либо пх, либо пу равны нулю. Из второй координационной группы вклад вносят только четыре атома, лежащие в плоскости ху:
