Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
dz» = і Tv^TT dco=Vg/ и (5-30)
где
— функция распределения частот или собственных колебаний для ветви /'. Мы видим, что для ее определения необходимо знать зависимость Coy=COj-(q), т. е. закон дисперсии.
Если нас интересует полное число колебаний во всех ветвях дисперсии, то необходимо пользоваться полной функцией распределения частот
.W-g« W-^l Jt^,.. (5.32)
Простой пример функции распределения частот был дан для одномерной решетки в (2.10).
В некоторых случаях удобнее пользоваться другой функцией распределения частот g (?*2), имеющей тот смысл, что g(<*2) dco2— §6] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ КОЛЕБАНИЙ
144
число колебаний в интервале от ©а до co2 + dcoa. Очевидно, что
g(w) = 2cog(^), (5.33)
так как g (со2) da1 = g («в') 2со da>.
§ 6. Нормальные координаты колебаний кристаллической решетки
1. В § 4 мы рассмотрели нормальные координаты для простой одномерной решетки.
При этом мы вначале ввели комплексные нормальные координаты aq, а затем перешли к вещественным нормальным координатам xq и соответствующим им обобщенным импульсам Pq.
Отличительной особенностью нормальных координат является то, что каждая из них гармонически зависит от времени, т. е. пропорциональна ехр(г'соqt). Это эквивалентно утверждению, что функция Гамильтона состоит из суммы квадратов (с соответствующими коэффициентами) координат и импульсов, т. е. имеет вид (4.11).
Очевидно, что наиболее общее движение атомов сложной трехмерной кристаллической решетки состоит из суммы выражений (5.7) с различными волновыми векторами q и частотами со (q). В самом деле, такая сумма тоже будет удовлетворять уравнениям движения (5.6) в силу их линейности.
Для того чтобы ввести нормальные координаты для трехмерной решетки, определим собственные векторы ejk(q) (в общем случае комплексные) динамические матрицы D^f (q) (см. (5.10а)); имеем (см. Приложение 3, п. 5)
S D^(q)eik^(q)=<o}(q)eika(q), (6.1)
ft'?
где е/ka. (ос = х, у, г)—составляющие собственного вектора, а со)(q) — /-е собственное значение динамической матрицы. Так как динамическая матрица эрмитова, то ее собственные векторы ортогональны (см. Приложение 3, п. 5), и так как они определяются из однородной системы (6.1) с точностью до множителя,— они могут быть нормированы на единицу. Таким образом,
2 eikae*rka z^ 6/7' (6.2)
ak
И
= (6.2а)
і
Собственные векторы ejka(q) отличаются от комплексных амплитуд Aja(q), удовлетворяющих уравнениям (5.10), только условием нормировки. 146 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Из условий (5.12) следует (5.14), т. е.
Єіка(Я)=Є)ка(—Я). (6-3)
так как при замене я на —Я все коэффициенты' уравнений (6.1) меняются на комплексно-сопряженные.
2. Введем комплексные нормальные координаты aj(q, t) посредством соотношения
UnrL~ V А/— .
11
VNmk
EW^H fa. ') (6.4)
где Ukna—а-я составляющая отклонения атома (п, k) от положения равновесия, N—число элементарных ячеек основной области кристалла, тк—масса атома k-vo сорта. Легко показать, что
а/(я) = а)(-я). (6-5)
В самом деле, только в этом случае отклонения и„а вещественны; действительно, из (6.4), (6.3) и (6.5) следует
= -^7== S (Я) а) (я) е-">ап =
: Una»
V Nmk-qj
= 7?; S еМ-я) aJ (-я) е-*ап =Ik
11
так как суммирование по —q эквивалентно суммированию по q. Учитывая, что q пробегает N квазидискретных значений, а / — 3s значений, то имеется всего 3sN комплексных величин uj(q). Из-за условия (6.5) это эквиьалентно заданию 3sN вещественных координат (3sN равно числу степеней свободы системы).
Выражение (6.4) для смещений атомов может быть записано в несколько иной для некоторых целей более удобной форме.
Проведем через начало координат ^-пространства плоскость; тогда векторы q и —q расположены по разные стороны от этой плоскости. Запишем выражение (6.4) через суммы по q, взятые по разные стороны от плоскости:
k _ Una —
+ 2 e?a(q)aj(q,t)e^n I
ж о, і I
Меняя во второй сумме q на —q и используя (6.3) и (6.5), получим
Una = -IT=H' ie?a(q) dj (q> t)e^n + e}ka(q)a){q, /)<г <««».},
У "mk qj
(6.4a) §6] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ КОЛЕБАНИЙ 147
где штрих у суммы означает, что суммирование по q ведется по половине зоны Бриллюэна.
Для того чтобы выразить комплексные координаты (q, t) через вещественные смещения Ukna, умножим обе части равенства (6.4) на \fmke*,ka(q')exp (—iq'a„) и просуммируем их по п, k, а. Суммирование в правой части по п множителя ехр [t (q—q')an] дает, согласно (П. 6.4), величину Ndqq'; суммирование по k, а множителя ejka(q)e),kn дает, согласно (6.2), величину б//-. Окончательно после суммирования по q и / получим для правой части VNar (q'). Переобозначая /' и q' на / и q, получим
a, = VmkUnaeika(q)e~l9"n . (6.6)
' nka
Для того чтобы убедиться в том, что aj(q) — нормальные координаты системы, выразим через них кинетическую и потенциальную энергии кристалла.
Кинетическая энергия атомов, в расчете на основную область кристалла, равна
' ~ "" (6.7)
= T ? ("D3 = ш X E e^ (я) aj (Я. О е'ч"п
