Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2 а/ 2n
nka nka
L 41
где мы воспользовались соотношением (6.4).
Так как квадратная скобка правой части (6.7) вещественна, то ее квадрат может быть формально представлен как произведение скобки на комплексно сопряженную. Таким образом,
= ? [ejka{q)aj{q, t)eto°ne),ka{q')a}(q',t)e-«*n]. (6.8)
nka qiq'i'
Из (П. 6.4) следует, что
2 Є' i9~9')an = Nbqq.,
п
поэтому суммирование по q' позволяет во всех множителях положить q' = q\ после этого суммирование по k, а. произведения ejkae),ka дает множитель б/;> (см. (6.2)). Наконец, суммируя по /', получим из (6.8)
«*" = -§-? I 'aJ (Я, Ol2- (6-9)
чі
Потенциальная энергия основной области кристалла в квадратичном приближении по смещениям атомов, согласно (5.2), равна
ф=4 E ^Ynn')
nn'kati'?
= W E (nn' ) yk E (я) а* (Я) е-1«*» X
nn'kak'? 4 'г "Чг q, /
X -LrJ^ern (q')ar(q')el4'a(6.10) V mk' q-/'148 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
где мы выразили смещения атомов через (6.4) и для удобства вычислений записали вещественную величину и?а через (uknа)*. Преобразуем сумму по л и п':
= Ее'(9'"9>"я Ет7==фаР (kL ) еiq'{a"-an) = NSqq.D^ (q%
ft п' V mkmk' 4 '
где мы использовали (П. 6.4) и (5.10а)1). Подставляя это выражение в (6.10), суммируя по q' и используя (6.1), получим
ф = { E Dk4{q')bqq-e)ka{q)a){q)ei,k^{q')ai,{q') =
ihrij'k'?qq'
= T E tf'(q)ej'k*(q)e*ka(q)aj,(q)a}(q).
hajj'q
Суммируя по k, а с использованием (6.2) и суммируя по /', получим окончательно
ф=!Е®н<7)к(<7)|2. (6-Ц)
чі
Таким образом, для полной энергии основной области кристалла получим
<?=^+ф=тЕ[К(?)12+®Н?)М?)12]- (6-12)
47
Из структуры этого выражения видно, что энергия колебаний атомов кристалла равна сумме энергий колебаний отдельных независимых «осцилляторов» с «кинетической энергией» 1I2) ^j-(q) I2 и «потенциальной энергией» V2Co2 (q) \а}- (q) |2; поэтому величины a,j (q) уместно назвать комплексными нормальными координатами.
3. Так как законы механики сформулированы для вещественных координат и скоростей, то желательно в выражении (6.12) перейти к вещественным нормальным координатам. Наиболее непосредственно их можно ввести, полагая
aj (q) = J= [Q1/ (q) + IQv- (q)], (6.13)
где Q1J (q) и Q2/ (q) вещественны. На первый взгляд кажется, что число их в два раза больше числа степеней свободы, однако из (6.5) следует, что
Q1/ (Q) = Q1J (~Я), Q2/ (Q)= -Qy (-Q)- (6.14)
J) Надо учесть, что 2(-.-) не зависит от п, так как выражение, стоя-п'
щее под знаком суммы, зависит только от разнести п'—п.§6] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ КОЛЕБАНИЙ 149
В силу этого число независимых вещественных нормальных координат равно 3sN, т. е. числу степеней свободы (как уже указывалось после равенства (6.5)).
Для того чтобы выразить энергию S (6.12) через независимые координаты Q1j- и Q2j-, мы проведем в ^-пространстве плоскость через начало координат и после подстановки (6.13) в (6.12) будем суммировать по q только по одной стороне от плоскости, т. е. по половине бриллюэновской зоны; тогда
{[Qi/ (Q)+(Q) Qb Ш+IQti (Q)+(Q) Qh(Q)W- (6-15)
ЧІ
Можно показать, что вещественным нормальным координатам (6.13) соответствуют стоячие волны в кристалле, смещенные друг относительно друга на 1/4 длины волны1). Для приложений более удобными являются бегущие волны. Вещественные нормальные координаты и скорости (импульсы) для этого случая были впервые введены Р. Пайерлсом посредством канонического преобразования2)
aj(q) = ~aj(Q) + an-Q). (6.16)
Здесь
где Qj-(q)—вещественные нормальные координаты. Очевидно, что условие (6.5) выполняется автоматически. Ниже будет показано, что Qj (±q)—действительно нормальные координаты, и поэтому
Qj(±Q) = -^j(q)QJ.(±q), (6.17)
где учтено, что Юу (—q) = coy (Q) (см. (5.13)). Из (6.16) и (6.17) получим
aj (Q) = V2 [Qj (Q) - (Q) Qj (Q)] +
+ V2 [Qy (-Q) + toy (Q) Qj (-0)]. (6.18) Подставляя теперь (6.16) и (6.18) в (6.12), получим
* =4 S № (Q)+(Q) Qi (Ar)J + IQi (~ Q)+юІ (Q) Qi (- 0 Ш =
= T ? Шч) + ^i(Q) Qi(Q)I, (6.19)
чі
так как суммирования по —q и q эквивалентны, а из (5.13)
1J БорнМ., КуньХ. Динамическая теория кристаллических решеток,—M.: ИЛ, 1958, § 38.
а) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика.— 4 изд.— M.: Наука, 1973, § 45.150 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ?ГЛ. III
®/(—Я) —Из (6.19) видно, что Qf(Q) действительно являются нормальными координатами, что оправдывает выражение (6.17) и подтверждает, что преобразование (6.16) — каноническое. Вводя вещественные обобщенные импульсы
^/(?)=^=<?/(?). (6-2°)
0V/
сопряженные координатам Qj (Q), можно записать (6.19) в виде
S = ? [у Р) (Q) + у ^i(Q) Q) (Q) (Q, Р), (6.21) я і
где Ж (Q, Р) — функция Гамильтона системы.
Подставляя (6.16) в (6.4), получим для смещений атомов
Ukna = -—= ? е/ка (Q) \сЧ (q) + a* (-Q)] е?«а». (6.22)
Если во втором слагаемом, содержащем множитель а] (—q), перейти при суммировании от q к —q (что, очевидно, равносильно) и воспользоваться явным видом (6.16), (6.20) и (6.3), то