Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 55

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 217 >> Следующая


2 а/ 2n

nka nka

L 41

где мы воспользовались соотношением (6.4).

Так как квадратная скобка правой части (6.7) вещественна, то ее квадрат может быть формально представлен как произведение скобки на комплексно сопряженную. Таким образом,

= ? [ejka{q)aj{q, t)eto°ne),ka{q')a}(q',t)e-«*n]. (6.8)

nka qiq'i'

Из (П. 6.4) следует, что

2 Є' i9~9')an = Nbqq.,

п

поэтому суммирование по q' позволяет во всех множителях положить q' = q\ после этого суммирование по k, а. произведения ejkae),ka дает множитель б/;> (см. (6.2)). Наконец, суммируя по /', получим из (6.8)

«*" = -§-? I 'aJ (Я, Ol2- (6-9)

чі

Потенциальная энергия основной области кристалла в квадратичном приближении по смещениям атомов, согласно (5.2), равна

ф=4 E ^Ynn')

nn'kati'?

= W E (nn' ) yk E (я) а* (Я) е-1«*» X

nn'kak'? 4 'г "Чг q, /

X -LrJ^ern (q')ar(q')el4'a(6.10) V mk' q-/' 148 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III

где мы выразили смещения атомов через (6.4) и для удобства вычислений записали вещественную величину и?а через (uknа)*. Преобразуем сумму по л и п':

= Ее'(9'"9>"я Ет7==фаР (kL ) еiq'{a"-an) = NSqq.D^ (q%

ft п' V mkmk' 4 '

где мы использовали (П. 6.4) и (5.10а)1). Подставляя это выражение в (6.10), суммируя по q' и используя (6.1), получим

ф = { E Dk4{q')bqq-e)ka{q)a){q)ei,k^{q')ai,{q') =

ihrij'k'?qq'

= T E tf'(q)ej'k*(q)e*ka(q)aj,(q)a}(q).

hajj'q

Суммируя по k, а с использованием (6.2) и суммируя по /', получим окончательно

ф=!Е®н<7)к(<7)|2. (6-Ц)

чі

Таким образом, для полной энергии основной области кристалла получим

<?=^+ф=тЕ[К(?)12+®Н?)М?)12]- (6-12)

47

Из структуры этого выражения видно, что энергия колебаний атомов кристалла равна сумме энергий колебаний отдельных независимых «осцилляторов» с «кинетической энергией» 1I2) ^j-(q) I2 и «потенциальной энергией» V2Co2 (q) \а}- (q) |2; поэтому величины a,j (q) уместно назвать комплексными нормальными координатами.

3. Так как законы механики сформулированы для вещественных координат и скоростей, то желательно в выражении (6.12) перейти к вещественным нормальным координатам. Наиболее непосредственно их можно ввести, полагая

aj (q) = J= [Q1/ (q) + IQv- (q)], (6.13)

где Q1J (q) и Q2/ (q) вещественны. На первый взгляд кажется, что число их в два раза больше числа степеней свободы, однако из (6.5) следует, что

Q1/ (Q) = Q1J (~Я), Q2/ (Q)= -Qy (-Q)- (6.14)

J) Надо учесть, что 2(-.-) не зависит от п, так как выражение, стоя-п'

щее под знаком суммы, зависит только от разнести п'—п. §6] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ КОЛЕБАНИЙ 149

В силу этого число независимых вещественных нормальных координат равно 3sN, т. е. числу степеней свободы (как уже указывалось после равенства (6.5)).

Для того чтобы выразить энергию S (6.12) через независимые координаты Q1j- и Q2j-, мы проведем в ^-пространстве плоскость через начало координат и после подстановки (6.13) в (6.12) будем суммировать по q только по одной стороне от плоскости, т. е. по половине бриллюэновской зоны; тогда

{[Qi/ (Q)+(Q) Qb Ш+IQti (Q)+(Q) Qh(Q)W- (6-15)

ЧІ

Можно показать, что вещественным нормальным координатам (6.13) соответствуют стоячие волны в кристалле, смещенные друг относительно друга на 1/4 длины волны1). Для приложений более удобными являются бегущие волны. Вещественные нормальные координаты и скорости (импульсы) для этого случая были впервые введены Р. Пайерлсом посредством канонического преобразования2)

aj(q) = ~aj(Q) + an-Q). (6.16)

Здесь

где Qj-(q)—вещественные нормальные координаты. Очевидно, что условие (6.5) выполняется автоматически. Ниже будет показано, что Qj (±q)—действительно нормальные координаты, и поэтому

Qj(±Q) = -^j(q)QJ.(±q), (6.17)

где учтено, что Юу (—q) = coy (Q) (см. (5.13)). Из (6.16) и (6.17) получим

aj (Q) = V2 [Qj (Q) - (Q) Qj (Q)] +

+ V2 [Qy (-Q) + toy (Q) Qj (-0)]. (6.18) Подставляя теперь (6.16) и (6.18) в (6.12), получим

* =4 S № (Q)+(Q) Qi (Ar)J + IQi (~ Q)+юІ (Q) Qi (- 0 Ш =

= T ? Шч) + ^i(Q) Qi(Q)I, (6.19)

чі

так как суммирования по —q и q эквивалентны, а из (5.13)

1J БорнМ., КуньХ. Динамическая теория кристаллических решеток,—M.: ИЛ, 1958, § 38.

а) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика.— 4 изд.— M.: Наука, 1973, § 45. 150 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ?ГЛ. III

®/(—Я) —Из (6.19) видно, что Qf(Q) действительно являются нормальными координатами, что оправдывает выражение (6.17) и подтверждает, что преобразование (6.16) — каноническое. Вводя вещественные обобщенные импульсы

^/(?)=^=<?/(?). (6-2°)

0V/

сопряженные координатам Qj (Q), можно записать (6.19) в виде

S = ? [у Р) (Q) + у ^i(Q) Q) (Q) (Q, Р), (6.21) я і

где Ж (Q, Р) — функция Гамильтона системы.

Подставляя (6.16) в (6.4), получим для смещений атомов

Ukna = -—= ? е/ка (Q) \сЧ (q) + a* (-Q)] е?«а». (6.22)

Если во втором слагаемом, содержащем множитель а] (—q), перейти при суммировании от q к —q (что, очевидно, равносильно) и воспользоваться явным видом (6.16), (6.20) и (6.3), то
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed