Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из табл. 111.1 легко определить скорости продольной и поперечной волн звука, во всех трех случаях (а, б, в). Например, в случае а)
/а, + 2а3 -, f а2
откуда следует, что voL > vaT\ это имеет место во всех трех случаях (в случаях б) и б) надо положить q' = q\Y^ и q' = ql}/~2).
Линия симметрии Z не проходит через центр бриллюэновской ЗОНЫ (рис. III. 13), поэтому дисперсионные кривые (0, = (0,(9) не начинаются с нуля. Заметим, что qx = q = я/а в случае а) и qz = q' = 0 в случае г) соответствует одна и та же точка в бриллюэновской зоне X, поэтому предельные значения частот в обоих случаях совпадают.
§ 8. Применение теории групп к исследованию нормальных колебаний кристаллической решетки
1. В (гл. II, § 7) мы исследовали в общем виде вопрос о применении теории групп к квантовомеханической системе, гамильтониан которой обладает некоторой симметрией. В первом пункте настоящего параграфа мы рассмотрим аналогичный вопрос в применении к нормальным колебаниям кристаллической решетки; затем мы применим полученные результаты к простой кубической решетке, исследованной в предыдущем параграфе.
Будем исходить из понятия группы волнового вектора Gq, введенной в гл. II, § 8, п. 3. Группа волнового вектора Gq есть подгруппа пространственной группы кристалла G, имеющая элементы g = {R I a (R) + а„} такие, что Rq = q или Rq = q-\-bi, где be — вектор обратной решетки.
Подействуем оператором Pg (II.6.1), где g€Gq, на обе части уравнения (6.1). Применение оператора Pg к динамической матрице Da?' (q) (5.10а) оставляет ее без изменения. В самом деле, поскольку элементы g являются элементами симметрии кристалла
(g (EG9^G), а силовые коэффициенты CDap ( я »J берутся для равновесных положений атомов в решетке, преобразование Pg может изменить только нумерацию узлов решетки п, п', по которым производится суммирование при определении D??' (q) (п можно 158 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ?ГЛ. III
всегда положить равным нулю); что же касается волнового вектора q, то он не меняется по определению группы волнового вектора Gq. В результате мы из (6.1) получим
S D& (Q) PgeM (Q) = Ю/ (Q) PfIka (Q). (8.1)
fc'?
Это уравнение в некотором отношении аналогично уравнению Шредингера (II.7.13): роль, гамильтониана Ж(х) играет динамическая матрица Dafi (q), роль собственных функций If(Jf) — собственные векторы ejka (q) и роль собственных значений энергии S—нормальные частоты ®)(q).
Мы видим, что собственные векторы ejka(q) играют роль базисных векторов неприводимого представления группы Gq. Если собственное значение ©/(#) уравнения (6.1) вырождено, т.е. имеется несколько линейно-независимых собственных векторов eIka (q), соответствующих частоте со, (q), то собственный вектор PgBjka (q) может быть представлен как линейная комбинация собственных векторов соответствующих частоте со<j(q). Матрицы этого линейного представления, аналогично (II.7.15), осуществляют неприводимое представление группы волнового вектора Gq. Размерность неприводимого представления равна кратности вырождения частоты соj (q).
Для того чтобы применить теорию групп к классификации колебаний кристаллов в разных точках зоны Бриллюэна, надо аналогично тому, как это было сделано для молекул (гл. III, § 8, п. 3), определить полное (приводимое) представление, соответствующее колебательным степеням свободы для определенного q. Для сложного кристалла полное число колебательных степеней свободы равно 3Ns—6«3Ns (N — число кристаллических ячеек в основной области, s—число атомов в ячейке), т.е. очень велико.
Однако нас интересует классификация колебаний в данной точке бриллюэновской зоны, т. е. для определенного значения волнового вектора q, который (для одной ветви колебаний) сам принимает N квазидискретных значений (5.24). Поэтому число колебательных степеней свободы при данном значении q равно 3s, т. е. равно числу степеней свободы для атомов элементарной ячейки.
Мы должны от 3sN смещений атомов перейти к их фурье-образам Una (q) (как это сделано ниже) и определить, по каким представлениям пространственной группы волнового вектора Gq они преобразуются.
Будем исходить из выражения (6.4), которое мы запишем в виде
4а = I1 Uka Meiga", (8.2)
ч $ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 159
где
Uka(q) = y=-]^e?a(q)a/(q, t). (8.2а)
Здесь efk—поляризационные векторы, а, — комплексные нормальные координаты.
Умножая обе части (8.2) на exp (—iq'a„), суммируя по п и используя (П.6.4), получим
и*«(0) = жЕе~',в,Чх (8-3)
п
(где мы в последнем выражении обозначили q' через q).
Применим к 3s (при заданном значении q) величинам Uka (q) оператор Pg-1 (II.6.1), где
g={tf|am + a} (8.4)
—элемент группы волнового вектора Gq (очевидно, g—тоже элемент группы ВОЛНОВОГО вектора Gq). Из (8.3) следует
Pg-Xik* (q) = L е-іча- Pe-Mbna. (8.5)
п
Оператор Pg-1 действует в правой части (8.3) только на смещения Unat так как множители exp (—iqan) являются коэффициентами разложения величины иы (q) но смещениям икпа (аналогично в гл. II, § 8, п. 3) оператор Pr преобразует смещения и,а атомов в молекуле, не действуя на нумерацию атомов).
