Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
^j(g + bg) = ^j(g). (5.15)
Таким образом, картина изоэнергетических поверхностей coy (<7) = const будет периодически повторяться в элементарных ячейках обратной решетки и зонах Бриллюэна.
Условие (5.13) показывает, что изоэнергетические поверхности ©у (q) = const, обладают в ^-пространстве центром инверсии, или центром симметрии. Из условия (5.13), конечно, 5 5]
ТРЕХМЕРНАЯ СЛОЖНАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА
139
не следует, что в общем случае coy (qx) = соу (—qx). Для выполнения последнего необходимо, чтобы обратная решетка обладала плоскостью симметрии (отражения) <7* = 0, что имеет место только в том случае, если прямая решетка имеет соответствующую плоскость симметрии х = 0. Можно показать, что обратная решетка обладает всеми элементами симметрии прямой решетки.
Выберем такое направление S в ^-пространстве (это может быть, в частности, направление самого вектора q), чтобы coy (^) = =о)у (—qs). На рис. III. 9 изображено пять ветвей колебаний соу (qs) для изменения qs, соответствующего пределам неравенства (5.9). Мы видим, что в точках О, Л, С и С' имеет место вырождение, т. е. совпадение (пересечение) нескольких ветвей колебаний. При этом возникает вопрос, как определить заданную ветвь колебаний во всем интервале изменения qs. В самом деле, мы можем заданную ветвь колебаний coy определить, например, следующими способами: DMAC'F' или DMACE', или DMAM'D'. Условимся поступать следующим образом: перенумеруем ветви колебаний для заданного qs = q\, например так:
(Qt) < «2 (ЯЇ) < «3 (ql) < (Qt) < «5 W
(см. рис. III. 9). Условимся теперь, чтобы для всех qs выполнялось неравенство
qa-L = -n О д°
Рис. III. 9.
W1 (qs) < W2 (qs) < ю3 (qs) < co4 (qs) < coa (qs),
(5.16)
которое определяет теперь нумерацию ветви на всем протяжении изменения qs. Легко видеть, что в этом случае ветви /=I соответствует кривая GOG', / = 3—кривая DMAM'D' и / = 4 кривая ECACE'. Только при таком выборе ветвей выполняется условие Юу(<7) = о)у(—q). При этом, однако, касательная
для данной ветви испытывает, вообще говоря, ска-
\d4s / Is=O
чок (см. ветви GOG' или DAD'). Например, для акустической ветви в одномерном случае мы имели соотношение (2.5)
или
CO2 = (X)I1 Sin2 у
• Qa ш= ± COm Sin^- , 140
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ
[ГЛ. III
т.е. точка «7 = 0 есть точка разветвления (рис. III. 10). Отбрасывая части ветвей, соответствующие отрицательным частотам со, мы определяем акустическую ветвь равенством
со = со„
¦ Qa
sinT
соответствующим кривой GOG' на рис. III. 9 и III. 10.
Конечно, нумерация ветвей в точке С (рис. III. 9) является условной, но мы ее подчиним общему правилу.
Если при 9=0 сoj (q) может быть разложено в ряд по степеням qa (а = X, у, г) (это имеет место, когда в этой точке нет C01 вырождения), то
«у (я) =
= СО- (0) + 2 ГаЧа + 2 Ra?QaQ?, а a?
(5.17)
-U)
Рис. III.10.
где
-(kl' Ra?"
1 ( З'"/ \
2 \dqadq? J00'
Заменяя q на —q и используя соотношение (5.13), получим
= что ввиду ПРОИЗВОЛЬНОСТИ ДЭеТ
Приводя
тензор Ra? к главным осям, получим
со, (?) = С0».+ 2 (5.18)
a
т. е., в отсутствие вырождения в точке «7 = 0, разложение СО,—COJ начинается с квадратичных членов. Этот случай изображен на рис. III. 9 точкой В.
Для кубического кристалла компоненты тензора Rk вырождаются в скаляр R, так что
со,-(д) = со? + Я<7а, (5.18а)
т. е. изоэнергетические поверхности превращаются в сферы.
В точке А разложение coy в степенной ряд невозможно (производная со, неоднозначна), поэтому здесь, вообще говоря, для каждой ветви
Zdco1 \ dq
\
ф 0.
Наконец, отметим, что в общем случае экстремумы (Hf (qs) могут иметь место как в центре и на границах бриллюэновской 5 5] ТРЕХМЕРНАЯ СЛОЖНАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА 141
зоны, так и в некоторых точках внутри нее (например, в точках M и M' на рис. III. 9).
5. Рассмотрим характер решений уравнений (5.10) в предельном случае очень длинных волн (q—>-0), когда, как мы указывали выше, амплитуды A^ (0) вещественны и, следовательно, характеризуют реальные отклонения атомов Ukna от положений равновесия.
Из (5.10) и (5.10а) следует, что при д = 0
^(O)AUO)= ? (5л9)
A'?n'
Положим для /-й ветви амплитуды колебаний (см. (5.7))
i4%(0)/y^=const(fc,„ (5.20)
т. е. не зависит от номера атома k'. В этом случае правая часть (5.19) равна
1 а%(0) ,kv ч
т^Ет^ЕМ™']-0
в силу (5.36); но тогда из (5.10) следует, что
My(O) = O (5.21)
(так как нас не интересует случай A^a (0) = 0 для всех трех значений а = х, у, z). С другой стороны, для того чтобы имело место (5.21), достаточно, чтобы Aka (O)=^=O для одного а, поэтому естественно предположить, что существуют три ветви колебаний (/ = .1, 2, 3), для которых COy (0) = 0, т. е. частота стремится к нулю, когда q—>-0. Эти три ветви колебаний, для которых характер движения атомов имеет вид (5.20), называются акустическими, и они аналогичны акустической ветви, рассмотренной в одномерном случае (§ 3).
Рассмотрим теперь случай, когда <7 = 0, но не выполняется (5.20) и следующее из него условие (5.21). Перепишем (5.19) в виде
