Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 53

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 217 >> Следующая


и просуммируем обе части по k:

Последняя сумма в правой части, согласно (5.36), равна нулю. Таким образом, левая часть равенства равна нулю, а так как мы предположили, что W2(O)=T^O, то сумма по k в левой части 142 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III

равна нулю. Ho тогда, используя (5.7), получим

2>*"»а(0) = 0, (5.22)

к

т. е. движение атомов происходит при этом так, что центр тяжести ячейки остается на месте. Такие ветви колебаний получили название оптических; их аналог в одномерном случае был рассмотрен в § 3.

Мы видим, что наряду с тремя акустическими должны существовать 3s — 3 оптические ветви, ДЛЯ которых (0,-(0)=7^0 (/ = 4, 5.....3s).

Можно показать, так же как в одномерном случае, что при qa, <^1 частоты акустических ветвей = vOJq (у = 1,2, 3), где

скорость волн v0j зависит не только от ветви у, нои от направления волнового вектора q. Для оптических ветвей зависимость (Oj от q вблизи нуля в отсутствие вырождения определяется выражением (5.18), т. е. имеет экстремум (обычно максимум). На гранях зоны Бриллюэна в отсутствие вырождения ветвей колебаний частоты сOj (q) также экстремальны. На рис. III. 11 схематически представлены акустические и оптические ветви (в отсутствие вырождения) для некоторого направления в кристалле, имеющего два атома в элементарной ячейке.

Для того чтобы иметь полную картину колебаний атомов в кристалле, необходимо решить уравнение (5.11) для всех значений q в интервале — л^qai^+ я, или для всех точек бриллюэновской зоны. Если даже известны силовые коэффи-

циенты Фар I , J , то это можно выполнить только путем численных расчетов. Такие расчеты показывают, что в трехмерном кристалле акустические и оптические ветви приблизительно имеют вид, подобный изображенному на рис. III. И.

6. Совершенно аналогично тому, как это имело место в одномерном случае (§ 2 п. 3), заменим граничные условия на поверхности основной области кристалла условиями цикличности Борна — Кармана. В случае трехмерного кристалла они не имеют столь наглядного смысла, как в случае одномерного, когда мы могли всю цепочку атомов расположить по окружности, сомкнув 1-й и G-й атомы. Однако может быть показано1), что в трех-

*) Борн M., Кунь X., Динамическая теория кристаллических решеток.—M.: ИЛ, 1958, с. 453. 5 5]

ТРЕХМЕРНАЯ СЛОЖНАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА

143

мерном кристалле для определения его объемных свойств условия цикличности эквивалентны граничным условиям на свободной поверхности основной области кристалла.

В трехмерном кристалле условия цикличности Борна — Кармана сводятся к требованию, чтобы волновое поле Ukna, пропорциональное eiqa", оставалось неизменным при смещении на любой из векторов Gai (і = 1,2,3). Для этого необходимо, чтобы etqGai = 1, т.е. G (qai) = 2ngi, где gt—целое число. Таким образом,

О*,

(i-1,2,3). (5.23)

/ \ 2я Ф I = (Q^i) = -Tri

Сравнивая это соотношение с (1.3.7), мы видим, что (5.23) выполняется, если

4 = ^'pg = ^(g1b1+gjbt + gab,), (5.24)

где bі—основные векторы обратной решетки. Это представление вектора q, аналогичное (2.8), носит формальный характер, поскольку G — произвольное большое число (удобно считать его нечетным), от которого не должны зависеть физически наблюдаемые величины.

Используя неравенство (5.9), получим

— G/2 < gi < G/2 (5.25)

аналогично (2.8а). Мы видим, что проекция q на каждый из векторов а,- может принимать G квазидискретных значений, и, следовательно, q имеет всего G3 = N различных значений. Поставим теперь вопрос о числе различных колебаний (возможных значений q) для одной ветви колебаний в объеме dxq = dqxdqydqz пространства волнового вектора. Очевидно, это число

dz = dg1 dg2 dgs =(^) Jcp1 d<p2 dcp3,

(5.26)

где

Ф< = QxaIx + Qyaiy + Чгаіг-

Перейдем от переменных Cpi к переменным qx, qy, qz. Для этого вычислим якобиан преобразования1):

дфі дфд дфз

dqx dqx dqx

дфі дф2 дф3

dqv dqy dqy

дц>і дц>2 д<ра

Wz Wz Wz

aIX а2Х азх
= aIy а2У aSy = {а1 [а2а3]) = Q0
aI Z a2Z aBz

*) В. И. Смирнов. Курс высшей математики.— 21 изд. —M.: Наука. 1974, т. 2, с. 195. ' 144 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III

Таким образом,

/qvft / G У

dz=Z\2п) ^1^2^3=(2^) Q0 d^x d^u = -Щу dXq . (5.27) Для одной ветви колебаний кристалла полное число колебаний

Для всех ветвей колебаний сложного кристалла это число всегда равно 3sN, т. е. числу степеней свободы атомов основной области.

Во многих случаях, например при изучении статистических вопросов, требуется знать число колебаний для /-й ветви в интервале от а» до со + da. Рассмотрим в ^-пространстве поверхности юу- (q) = const и положим

dxq = dadqL, (5.28)

где da—элемент этой поверхности, a dqj_ — бесконечно малое приращение по нормали к da. Очевидно, что

da, = | V9W7Id^x, (5.29)

где Vq — градиент в ^-пространстве. Подставляя в (5.27) (5.28) и (5.29) и интегрируя по поверхности постоянной частоты, получим для числа колебаний в /'-й ветви, в интервале частот (со, co-j-dco), выражение
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed