Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
zM?)=^ (тf)2[(i-eM^+v>)-
_(1 _e< <V"^) + (1 — e~l V0) —(1 <V -»««>) = = Ц [2 cos (<7ва—<7яа) cos (qxa + qya)] =
2<х
= -^smqxasmqya, (7.12)
Acv (G) = ^sinfctOsinfya. (7.13)
Остальные недиагональные члены Dxe, Dyz и т. д. могут быть получены циклической перестановкой.' 154 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Из (7.10) и (7.13) мы видим, что элементы динамической матрицы вещественны и симметричны, т.е. Dafi = Dfia, как это и должно быть для простых решеток (см. (5.1 Ib)). Характеристическое уравнение (5.11) имеет вид
|?>a?(<7)-<»2Sa?[ = 0, (7.14)
где Dafi (q) определяются выражениями (7.10) и (7.13).
Уравнение (7.14)третьей степени относительно со2, поэтому его решение в общем случае затруднительно; мы его решим для избранных симметричных точек (линий) зоны Бриллюэна.
Для простой кубической решетки зона Бриллюэна имеет форму куба, изображенную на рис. III. 13.
Определим вид спектра (дисперсию) и направление векторов поляризации е- (/==1, 2, 3) для точек А, т. е. оси симметрии [100]. В этом случае qx = q, qy = qz = 0, и из (7.10) и (7.13) следует, что
Drr = sin2 <Е , д„, = D„ = ^ sin2 Щ. (7.15)
I V
I T X
)г,
Jm І і Ix
M
Рис. III. 13.
VV
Все недиагональные члены Dxy, Dxz и т.д. равны нулю поэтому характеристическое уравнение имеет вид
(D^-CO3) (Dct-CO2)2^O, (7.16)
откуда три (/'==1, 2, 3) его корня: Dr
сої
,4(0^ + 2?) . а да т. 2 '
CO2 = CO2 = ^ sin2 f. (7.17)
Уравнения для поляризационных (см. (6.1)):
Dxr.e, к = со?е
векторов
eJ
IcIXl
DyyeIy =t0IeIy.
&1ZI
имеют ВИД
(7.18)
D ZZeIZ =
D е
D р
1^yycZy
-- щегх,
(7.19)
D ZZe2Z = w^o2.
Уравнения для вектора е3 совпадают с (7.19). Решения однородных уравнений (7.18) и (7.19),-с учетом нормировки ех, е2 и е3 (см. (6.2) и (6.3)), имеют вид: C1 (1, 0, 0), е2 (0, 1, 0) и B3 (0, 0, 1); из-за вырождения частоты W2 = Co3 выбор составляющих у еа и е3 неоднозначен, можно, например, положить S 7]
КОЛЕБАНИЯ ПРОСТОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
155
ев(0, — 1IV2, \IV2) и е3 (О, \IV~2, IlV2), что, однако, не при-
водит к новым физически интересным результатам.
Таким образом, волна распространяющаяся вдоль оси х с волновым вектором q = qx, характеризуется продольным вектором поляризации ?,?.(1, 0, 0) и поперечными векторами поляризации
Секулярное уравнение (7.14) может быть просто решено и для других симметричных точек (линий) Л, 2 и Z (рис. 111.13). Определив для этих точек соответствующие значения со2, можно из уравнений (6.1) определить поляризационные векторы. Так как процедура эта подобна проделанной нами выше для точки А, мы не воспроизводим вычислений для остальных точек, ограничиваясь приведением результатов в табл. III.1.
Рассматривая табл. III.1, видим, что поляризационные векторы ву нормированы на единицу в случаях а) и г). В двух
других случаях, мы для наглядности предпочли положить равными ± 1, все не равные нулю составляющие у ef. В случае б) векторы efy и ер не ортогональны друг к другу (они образуют угол в 80°, в чем можно убедиться, составив их скалярное произведение). Это не противоречит общей теореме, доказанной в Приложении 3 п. 5, так как собственные векторы ер и e(f} относятся к одному собственному значению col = co§. Можно, конечно, и в этом случае посредством линейного преобразования ввести взаимно ортогональные собственные векторы. В случае г) ветви колебаний не разделяются на продольные и поперечные (только е2(0, 1, 0) — поперечное колебание).
На рис. 111.14 схематически изображены зависимости частот (Oj от q' в случаях а) — г). В случаях а), б), в) линии симметрии
6^(0, 1, 0) и е9>(0, 0, 1).
Рис. III. 14. 156 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ?ГЛ. III
Таблица III.1
а) Линия Д: qx = q, qy = qz = Q-
Papll = I Л 0 0 В 0 0 А 4a1 + 8a2 . „ qa 4a2 . .„ qa = —і—і--sin2i-, B = —- Sin2V, m 2 m 2
|0 0 в
О)2 = = A, eL(\, 0, 0)
= 0) 2 _ в, e<}>(0, 1, 0), ef (0, 0, 1);
б) Линия Л: Ях = Яу = Яг = Я' = у=--
IPa?ll = А В В В А В В В А , A = 4 OL1 т . „ q'a . 4a2 . „ , D 2a2 . , , sin —L--=sin2g a, B = —=sin2o a, 2 ' m m
О)2 = = А + 2В eL(h 1, 1),
= Ш| = A- -в, <??> (1, —1, 0), 0, —1).
в) Линия S: Ях = <?'. яJ = O, Яг = Я' = у=г-
= А 0 С 0 В 0 с 0 А . 4 (Ot1 + Ot2) . , <7 a . 2аа . . , A= —sin2-?—--- sin q л. т 2 1 т 1 '
D 8a2 . „ q'a „ 2a2 . , , B=—=Sin2^7r-, C =—- sin2 q'a. m 2 m 4
о* = Л + С, eL(l, 0, 1),
®ї = = B, (0, 1, 0),
= A- С, ef (1, 0, —1).
г) Линия Z: Ях Л 1' q„ = 0, Яг = Я*= I^ Я2 * (^J.
Pa? 11 А 0 0 0 В 0 0 0 С • A = l2i+^{3 + coS<7'a}, m 1 m 1 1 '
B = 2a2 . , , 4ai . „ q'a . 4a2 -{3—coso'e}, C=—і sin2 ^r—---. m 1 1 ' m 2 1 m
О)* = = A «і(1, 0, 0),
О)2 = = B, e2(0, 1, 0)s=er,
toI= = C » «¦(0, 0, 1). $ 8] ИССЛЕДОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ 157
выходят нз точки Г—центра бриллюэновской зоны, которому соответствует <7 = 0, поэтому акустические ветви в этом случае, как и должно быть, начинаются с ?0, = 0. Как следует из табл. III.1, в этих случаях, для малых значений волнового вектора q, co = u0<7, где u0—скорость звука (скорость распространения длинных волн: <7а = 2яаД<^1, т.е. длина волны rKа = постоянной решетки).
