Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
WMfta = 2 (5.10)
fc'? v '
где элементы динамической матрицы кристалла
^m-ZfjssMSKk"4 <5Л0а)
В этой матрице 3s-ro ранга двойной индекс (^j нумерует строки,
а индекс ^ j столбцы. Мы получили линейную однородную
алгебраическую систему 3s уравнений (вместо SsN уравнений (5.6)) для 3s неизвестных комплексных величин Aa {k=l, 2,..., s; а=х, у, г). Система (5.10) может быть переписана в более компактной форме:
2 {Dfi -u)2S^6a?} А$ = 0 (k=l,2,...,s;a = x,y,z), (5.106)
где символы б^. и 6K?, отличные от нуля и равные единице только при k = k' и a = ?, автоматически обеспечивают совпадение системы (5.106) с (5.10).
Известно2), что система (5.106) имеет решения, отличные от нулевых (тривиальных) только в том случае, если определитель системы равен нулю:
I D*g - ^8кк1 Sap ] = 0. (5.11)
*) Полезно напомнить, что более глубокой причиной появления волнового вектора q и его свойств является трансляционная симметрия кристаллической решетки (см. гл. ІЇ, § 9).
2) Смирнов В. И., Курс высшей математики.— 10 изд.— M.: Наука,
1974, т. 3, ч. I., п. 10. 5 5] ТРЕХМЕРНАЯ СЛОЖНАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА 137
Это характериетичевте уравнение степени 3s для частоты to2 может быть расписано подробнее:
CDa, иУХі Г)11 uXyt D^-CO2, п11 uXZt 7Э11 Uyz, п12 uXX' « Г)12 иух, ¦ Dls І > uXZ ., Df2 = 0. (5.11а)
Dsl LJzx, n Sl uZyt Dsl uZZl Ds2 uZXt ¦ ¦ , DsA-CO2
Из (5.10а) и (5.3а) следует, что
= Dftp, (5.116)
где звездочка *, как всегда означает величину комплексно-сопряженную. Матрица 0?', обладающая свойством (5.116), называется эрмитовой. Известно, что собственные значения эрмитовой матрицы со2, следующие из уравнения (5.11а), вещественны (см. Приложение 3, п. 5). Из физических соображений ясно, что они должны быть положительны. В самом деле, отрицательные to2 = — у2 < 0 приводят в выражении для волны (5.7) к множителю exp (+ Yt), который принимает неограниченно большие значения в прошедшем или будущем, т. е. ведет к разрушению решетки. Положительность значений со2 может быть показана и математически из условий, налагаемых на силовые
коэффициенты Фар ^дд» j > следующие из условий минимума потенциальной энергии решетки в положении равновесия.
Таким образом, в общем случае характеристическое уравнение (5.11а) степени 3s для со2 дает 3s различных вещественных корней сOj-(q) (/=1,2,3, ...,3s), определяющих 3s различных ветвей колебаний. Учет симметрии кристаллической ячейки приводит к тому, что часть корней Coy- иногда совпадает, так что число различных ветвей колебаний может быть меньше 3s. Подставляя 3s корней соу- (q) в систему однородных уравнений (5.106), получим (с точностью до постоянного множителя) 3s различных решений для комплексных амплитуд А)а.
Рассмотрим важный вопрос: в каких случаях амплитуды Akja вещественны. Очевидно, что амплитуды Akja вещественны (с точностью до несущественного общего множителя, который может быть и комплексным) в том случае, когда коэффициенты Dkafi однородной системы (5.106) вещественны. Для q = 0 и <7а, = ±я множитель exp[iq(an'—а„)] равен +1 или —1; но тогда из (5.10а) следует, что D^fi вещественны.
Таким образом, для бесконечно длинных и предельно коротких волн амплитуды А)а в (5.7) можно считать вещественными.
Легко показать, что амплитуды Aja можно считать вещественными для простой решетки. В этом случае решетка состоит из одинаковых атомов, расположенных в узлах ап; при этом наряду с атомом в узле а„ всегда имеется такой же атом в узле 138 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
— а„. Суммирование в (5.10а) можно провести по парам атомов а„ и —а„. Полагая а„ = 0 и учитывая, что Фар(я) = Фар(—я)> получим из (5.10а)
Az? (?) = ^ ? Ф«<» {П,) Є~ІЧа'П + =
я'
=?-к'(«') (е~іча'п+e*e")=Eі<я')cosw«- 11 в>
п' п'
Таким образом, элементы матрицы 3-го ранга Da$(g) вещественны, а следовательно, могут быть выбраны вещественными и амплитуды Aja.
Из определения (5! 10а) следует, что
DiU~ Я) = D^ (д)*. (5.12)
Отсюда и из эрмитовости матрицы (5.116) следует, что характеристическое уравнение (5.11а) не меняется при замене q на
9'Т'Є' <*j (~Я) = ю, (Я). (5.13)
Но тогда из системы (5.106) следует, что
AU-Я) = AfaW- (5-14)
Соотношение (5.13) является более глубоким следствием инвариантности уравнения механики при обращении времени (t —* —t).
3. Так как coy—функция q, то можно в бриллюэновской зоне построить для каждой ветви колебаний / семейство поверхностей Wy (д) = const. Структура этих изочастотных, или изо-энергетических (Aco/(д) =Sj(Q)) поверхностей существенно зависит от симметрии прямой решетки кристалла. В частности, симметрия в большой мере (хотя и не полностью) определяет те значения д, при которых имеются касания и пересечения изо-энергетических поверхностей (разных ветвей колебаний).
Из эквивалентности волновых векторов д, различающихся на bg, следует, что физические величины, зависящие от д, должны быть трехмерно-периодическими функциями в ^-пространстве с периодами bh где bt—основные векторы обратной решетки. В частности, частота
