Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
т) <-te>-w<*«>
+
+
ре-
(VpH) [
Ep + g
0 1 <т*р*>+-2^5-<Tj>
(6.24г)
В том же приближении по магнитному полю постоянная Нернста
O1^1—a2bj
пе' , . . ре' ,
-<*„>+ — < V
т„ тр
X
W+ а» Я
X {О T- (т)[<т^><т->-<т»*><^>] +
+
ре'
+
ре-т„
Ч(т) [<¦$*> <V-<V> <tp>J +
ь р т (<тр*> <т«>+<тР> <т-*»+
+ Y„ (-?1) №> <хр> + <т*> < V>) +
+ W (7„<^><V+7/^)<T„»]}. (6.25)
l) Johnson V. A., Whitesell W. J.—Phys. Rev. 1953, v. 89 p. 941. §7] Явления переноса в полупроводниках 527
Фигурная скобка в этом выражении состоит из трех слагаемых, пропорциональных п2, р2 и пр. Полагая концентрацию дырок P = О, получим из (6.25) выражение (6.6).
Если хп, хр зависят от энергии по степенному закону (3.4), то, воспользовавшись (3.4а), можно все угловые скобки в (6.25) выразить через Г-функции. Далее, воспользовавшись (3.3), можно вместо е/тп и е/тр ввести соответствующие подвижности и нр. Для того чтобы не загромождать изложение, мы приведем результат только для рассеяния электронов и дырок на акустических колебаниях:
O=-^L V 8 се
ko_ пцп + PjXp _eG + 1IjkoT Щ1п PHp ([Х„ -f цр)
2 (пцп + рцр)2 T (пцп + ррр)г .
. (6.25а)
§ 7. Явления переноса в полупроводниках с простой зоной при произвольном вырождении
1. Обобщим некоторые результаты, полученные в §§ 3—6 на случай произвольного вырождения носителей тока. Заменим в выражении для плотности тока электронов (2.15) ип на (2.13а), %п на (2.16) и перейдем в интеграле посредством (2.13) от переменной k к е, тогда1)
о
Запишем это выражение, аналогично (2.21), в виде
J~<r>. (7.1а)
где символ усреднения <...> имеет теперь следующий смысл:
со со
<*•>=T^rw (-?83/3 de= -h I w (-?) x",dx-
= O о 0O
(7.16)
Здесь ?0 — граничная энергия Ферми (VI.2.8а), Z0 = X0Ik0T и X = Elk0T. При произвольном вырождении равновесная функция распределения
/о= ГІГ7 =е*-г _LI » (7-1в)
где Z = Xlk0T-, в этом смысле (7.16) является обобщением выражения (2.19), в которое (7.16) переходит, если заменить /0 распределением Больцмана (VI.2.11а).
1J Во всех выражениях этого параграфа мы опускаем индекс п. 528 кинетические процессы в полупроводниках ' [гл. ix
Из (7.16) для X* = a = Const следует
<а> = а. (7.Ir)
Это может быть просто показано, если взять интеграл (7.16) по частям и воспользоваться условием нормировки (VI.2.5). Если т зависит от энергии є по закону (3.4) и рассматриваются только предельные случаи слабого и сильного магнитного поля, то усреднение в равенстве (7.1а) всегда сводится к усреднению степеней энергии, т. е.
QO
<B'>=?0-,/sjV»/' (--?-)^, (7.2)
О
QO
<**> = г0~3/а (7.2а)
о
Если fe077?0<s5; 1, то в первом (б-функционном) и втором приближениях по вырождению (7.2) соответственно равно
<в'> = й, (7.26)
= + + (7.2b)
где мы воспользовались формулой (П.17.5) и выражением для!; (VI.2.9).
Интегрируя по частям в (7.2а), получим
<**> = Z0"3/2 (s + »/,)Fe+i/,(z)f (7.2г)
где Z = XIk0T и интеграл Ферми JFs+1/2 определяется равенством (VI.2.6).
Плотность потока энергии может быть получена из (7.1), если заменить (под знаком интеграла) заряд электрона —е на его полную энергию є—еф, где ф — потенциал электрического поля, действующего на электроны. Таким образом, плотность потока энергии
ю = --?<Х*(в-«Р)>==--^-<Х*в> + ф/ (7.3)
Если в условиях измерения электрический ток равен нулю, то W равно первому елагаемому правой части (7.3).
2. Электрический ток в отсутствие градиента температуры и магнитного поля определяется из равенства (7.1а), где х*> согласно (3.1), равно тЕ; таким образом,
j=^-<x>E, (7.4)
откуда электропроводность
о = ^-< т>. (7.5) $7] явления переноса b полупроводниках 529
Если т равно (3.4), то
<т> = a<er>=a {kjy <*'>. (7.6)
Используя (7.2г), получим при произвольном вырождении
1S-trT^a (W+3/2 ('-+41 Fr+1/t(z), (7.7)
Зя* P V Т.
где Z = Qk0T при ft = const определяется из (VI.2.5), а при наличии доноров и акцепторов —из (VI.2.15).
При сильном вырождении достаточно использовать первое приближение (7.26); тогда
O = ^ T(C0)f (7.8)
где T(?0) = T(e)|e=Ci.
Из выражения (7.1) видно, что из-за наличия под интегралом множителя ^—^j a б (е — ^0) в токе принимают участие
только электроны, расположенные в слое толщиной порядка k0T вблизи поверхности Ферми Є = Со. В самом деле, для других электронов б (е — Со) « 0. В силу этого при вырождении не вводят понятия подвижности электронов \i = ajne.
3. Выражение для дифференциальной термоэдс (4.5) может быть записано в виде
Если т равно (3.4), то при произвольном вырождении
{Ж»-'}- ™
Из равенства (7.9) непосредственно видно, что в первом приближении по вырождению а = 0. В самом деле, первое слагаемое в фигурной скобке (7.9), в б-функционном приближении, равно
<те> __ T (go) go _ r <Т> T (Ее) ~
и, следовательно, сокращается со вторым слагаемым. Во втором приближении по вырождению, используя (7.2г) и (VI.2.9), получим 1J
«-*('+4) (*)(?)• <™>
1) При этом здесь и дальше мы используем разложение l±g я (1 + ах2) (1 -Ьх2) ^ 1 + (а-Ь) X2
