Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(ft) I HV J (iva (ft)
(8.25)
l) См. Приложение 24. Некоторые авторы обозначают o„av через в S 8] ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ 539
Аналогично (8.12а) выражение (8.25) отлично от нуля при а== Я; в этом случае можно интегрирование по k саест* к интегрированию по е подобно (8.12в). В результате
A0 = —гЕ 8^nlh <*2> ^rV 0^l7fv' {8-26)
HV и-
где символ < > определен в (8.13), а тензор 3-го ранга
= (8.26а)
A JX
определяет добавочный ток в направлении Я, пропорциональный E^Hv1). Без учета межэллипсоидных переходов полный ток в координатной системе, связанной с осями кристалла,
/X=SA0=Eoxiw^tfv. (8-27)
і IiV
где
Oxhv = S oIhv (8.27а)
і
и cfxhv—компоненты тензора (8.26а), преобразованные к координатной системе, связанной с кристаллом. В кубическом кристалле циклическая перестановка индексов Ajxv не меняет значения OXhv, кроме того, естественно думать, что в кубическом кристалле холловский ток пропорционален [?//]• Это значит, что
oxhv = TIsXHV, (8-28)
где ті — скаляр, через который выражаются все 27 компонент тензора gxhv Из (8.28) и (8.27)
/= її [?//]. (8.29)
Составим инвариант (скаляр)
S oxhvOXHV = S TIsIHV = 6л (8.30)
Xhv XHV v
И выразим его через Oitjiv
6л =S S^IhvsXhv = SS O^vsXhv (8.30а)
Xhv і і Xhv v
Так как каждая сумма, относящаяся к і-му эллипсоиду, тоже инвариант, То она может быть вычислена в любой координатной системе, в том числе и в главных осях тензора Ct^v-
*) Конечно, (Txhv не имеет размерности удельной электропроводности. 540 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Используя (8.26а), получим
Xnv Xhv Л ц
- п(<> <т2> 2 Г— -1—!—H JLl
Lm1W2 1 TTi1Vi3 1 m2m3J
с
(8.306)
выражение, одинаковое для всех эллипсоидов. Из (8.30а), (8.306)
ГІ = -?!.Л<Т2> 1 (8.31)
где
1 _ 1 m"2 — 3
-1
(8.31а)
TTi1Tn2 Tn1Tn3 ~ m2m3J ' что для Ge и Si равно
і =4 [^7+^] • (8-31б)
Из (8.16) и (8.29) следует, что полный ток
J=oE + i\[EH\. (8.32)
Исходя из определения постоянной Холла R (5.5), получим из (8.32) в линейном приближении по магнитному полю
п_?г/_Л„_ 1 <^>(>п'У ,о „ч
\Н а2 — '
что отличается от (6.10) только множителем (т'/т")2.
5. Рассмотрим магнетопроводимость в слабых магнитных полях. Для этого разложим неравновесную функцию распределения в ряд по напряженности магнитного поля до членов порядка H2
/=/о + 2 + 2 Яй'ВД + 2 ftAtfvtfp, (8.34)
H (iv (!VP
где flivp—тензор 3-го ранга.
Учитывая значения /||0> и очевидно, что для определения fffip необходимо в левую часть кинетического уравнения подставить
2
HV
При этом мы получим значение, пропорциональное величине [vffjvjw = [vH] V* (т2 дЛ ? Slivet, N . (8.35)
н
Производя преобразования, аналогичные (8.20)—(8.22), получим S 8]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ
541
из кинетического уравнения
-Jt3^EE (8.36)
HV a?p а 11 Hvp
откуда
/8? = E <WW ^ JLr . (8.37)
a? a 14
Определим теперь ток от і-го эллипсоида, обусловленный этой добавкой к функции распределения:
/>:' = - е2»я 2 = 2 O^wEaHvHp. (8.38)
(*) HVp HVP
Здесь O^vp—тензор 4-го ранга магнетопроводимости, имеющий 3x3x3x3 = 81 компоненту. Подставляя (8.36) в (8.38), получим
<vp=-:4 E E (¦-I0) Йг ¦¦ (8-39^
(Jfc) Ba? a 11
Так же как и в предыдущих случаях, интегрирование по ft дает нуль, если ? ф Я. Мы можем опять перейти от интегрирования по ft к интегрированию по е и воспользоваться обозначением (8.13), тогда
(8.40)
а
Так как замена не меняет члена EtxHvHp, то O^ivp в сумме
(8.38) удобно симметризировать, полагая
«vp)c„M„ = V2 «vp + oftpv). (8.41)
В ЭТОМ случае каждому коэффициенту (0$и>р)симм соответствует одно определенное произведение EllHvHp.
В дальнейшем мы будем предполагать в (8.38) такую симметризацию; тогда, опуская знак ( )СИмм' получим вместо (8.40)
<vp = ^"«><t3> Mftlvp, (8.42)
где
MHv p = - j E Т^ЛГ [fW Аяр + SawAxv]- (8.42а)
а а X н
Отсюда следует, что
Milu = 0, (8.43)
Aijfilw =--21— V), (8.43а)
m\ma
ми = mu=?- (8-436) 542 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Коэффициенты O^ivp учитывают изменение тока, связанное с изменением электрического сопротивления (магнетосопротив-ление). Из (8.42) и (8.43) следует, что ст?щ, = 0, т. е. магнето-сопротивление вдоль одной из главных осей эллипсоида энергии, в том случае, когда направление магнитного поля совпадает с направлением тока, равно нулю. Этот результат обобщает выводы об исчезновении продольного магнетосопротивления в случае сферических поверхностей энергии (§ 5, п.1).
Для германия и кремния все разные и отличные от нуля коэффициенты Mi^llvр равны
M1122 =---- , Mft13 = AJ2233 =--Г і
т^
= М%2=--, МЦ>12 = Mft13 = TWg23 = —!— . (8.44)
2
Конечно, имеют место все соотношения вида: Mil22 = M22u или М&12 = Mfy1 ит. д.
В кремнии и германии совокупность всех эквивалентных минимумов в первой бриллюэновской зоне удовлетворяет кубической симметрии кристалла. Мы различаем два случая:
