Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. В отсутствие магнитного поля (H = O) и наличии диента температуры (VT=^O1 из (2.17) следует
-^r- VT t„V (4-Ф
= Іо С
е
где x-^ E/k0T. Из (2.21) следует, что электрический ток, создаваемый неравновесным распределением электронов (4.2), равен
/ пе2 _ ne^ j kO Г/т y\ S
Jn= — <Ъп> |_<Т"*> - W
О
Ъ Ъ
Рис. IX. 1.
гра-
%п — ^nP п —
го электрич( шем злектрі
<T„>]vr +
где подвижность электронов цп определяется выражением (3.3), а
(4.3а)
Sn
<тпх> <Т„>
Если время релаксации т„ оо ег, то
_ г (л + 7/2)
Sn
(4.36)
г (Г 4- 5/2)
В случае четырех механизмов рассеяния (3.5) величина gn равна: a)g„ = 2; б) = 4; в) gn = 3- г) ёп = 2,Б. (4.4) 508 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Дифференциальная термоэдс а определяется как отношение
(М
I I для разомкнутой цепи; из (4.3) при Jn = O получим
а =
Vll- А 1
' е ФЛ _ k0 / С \_ ко Г , 2 (2птпк0Т)3/г
к0 Г . 2 (2птпк0Т)3/г "1 IvTI е Vs" aO^ У <? [?""!"'5 Tih3 J'
(4.5)
где ? взято из (VI.2.156) и h = 2n%. Выражение (4.5) для атомных полупроводников (с gn = 2) было впервые получено Н. Л. Пи-сареико (1940).
Для дырок, как следует из (2.23),
ti= -vE'+g,+e ^+V7 (f-ф) • (4-6)
Подставляя это. выражение в (2.24), получим для электрического тока, обусловленного дырками,
JP = -PW,{? (*, +?^) ^-V (f-ф)} . (4-7)
где gp аналогично (4.3а). Полный ток
J-Jn+JP = ne^{v vr} +
4(І-ф)-^- (? +-?^) vr}. (4.8)
Полагая полный ток J= 0, получим для дифференциальной термоэдс собственного полупроводника
V1I-Cp
а
і L.. Z
(gn-
I VTI е Пцп + Р1хр V^n koT
_„„ (е I 1 Lu \г I Ic 2 (2птпк0Т)3
PPp \gP+ koT е + ШJ
-№,(*,+18-2^?^)}. (4.9)
где —? и е0 + ? взяты из (VI.2.156), (6.2.15в). Мы видим, что вклады, вносимые в термоэдс электронами и дырками, имеют противоположные знаки; отсюда следует, что термоэдс собственного полупроводника, вообще говоря, меньше, чем примесного.
3. Для рассмотрения других термоэлектрических явлений вычислим плотность потока энергии, переносимого электронами §4] ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
508
и дырками:
W=Jaw(A) {є-MfnS+
+ §fF(k'){B'+Ba + e фК^З". (4.10)
Индексы пир, как всегда, отмечают величины, относящиеся к электронам и дыркам. Выражения, стоящие в скобках (4.10), учитывают наряду с кинетической и потенциальную энергию электронов и дырок; слагаемое e0 учитывает, что энергия дырки є' отсчитывается не от нижнего края зоны проводимости, а от верхнего края валентной зоны.
Неравновесные части функций распределения в потоке w с выражениями (4.2) и (4.6) для %* (є) позволяют без труда вычислить w. Те слагаемые в фигурных скобках в (4.10), которые не зависят от є и є', дают в w составляющие, пропорциональные Jn и jp. Слагаемые є и є' приводят к вычислению интегралов типа (2.20) от хх и хх2. В результате получим1)
W = Фj+za-jr-stf-n^ [V (е-«Р)VT] +
+ + vr] , (4.11)
где Jp выражается формулой (4.7) и
Zi = < хх2у!(хх->. (4.11а)
Подставйм сюда (в том числе и в jp) V (?—еср) из (4.8). Приводя полученные слагаемые к общему знаменателю, объединяя подобные члены при пцп, Piip и их произведениях, получим в результате длинных, но элементарных алгебраических вычислений
ю = (ф_1)/_ny_xV7\ (4.12)
где коэффициент Пельтье
(4.12а)
и коэффициент теплопроводности
k2T k2T
X=»(>„ (fe-g>) Sr+еті„ {hg-g<) -i-
Если время релаксации т оо ег, то численное значение коэффициента в (4.126)
hg-gl = g4h~g) = r-\- L (4.12b)
і) Мы считаем, что gn = gps= g и hn — hp^sh, что, вообще говоря, обычно и имеет место. 510 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ '
[ГЛ. IX
т. е. совпадает с g (4.36). Для разных механизмов рассеяния (3.5) этот коэффициент равен (4.4).
Из (4.12а) и (4.9) следует, что
П = аТ. (4.13)
Это так называемое соотношение Томсона, которое является, как мы сейчас покажем, следствием соотношений симметрии кинетических коэффициентов (1.5), поэтому оно справедливо не только для конкретной модели полупроводника, рассмотренного выше.
Полагая в (1.1) ток J= 0, получим для дифференциальной термоэдс (4.5)
HW
а = -
|VT| о"
Подставляя V (-j—ф) из (1.1) в (1.2), получим
(4-14)
Сравнивая это выражение с (4.12), получим для коэффициента Пельтье
n = v/CT. (4.15)
Из (1.5), записанного для скалярных коэффициентов у и ? (4.14) и (4.15), немедленно следует соотношение Томсона (4.13).
Из (4.126) видно, что при смешанной проводимости, наряду с теплом, аддитивно переносимым электронами и дырками, часть теплопроводности обусловлена электронно-дырочными парами (слагаемое, пропорциональное произведению пр в (4.126)). Передача тепла осуществляется в этом случае за счет выделения энергии при рекомбинации электронов и дырок на холодном конце, где их равновесная концентрация ниже, чем в нагретой части полупроводника. Если концентрации и подвижности для электронов и дырок одного порядка и So^k0T, то теплопроводность, обусловленная электронно-дырочными парами в (ea/k0T)2 раз больше теплопроводности электронов (дырок).
