Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
А. Шесть эллипсоидов энергии расположены вдоль направления <100> (кремний).
Б. Четыре эллипсоида энергии расположены вдоль направлений <111> (германий).
Обозначим через Xi (i = 1, 2, 3) оси прямоугольной координатной системы, направленные вдоль ребер куба элементарной ячейки, и через I1- (і = 1, 2, 3) главные оси одного из эллипсоидов энергии.
В случае А для одной пары эллипсоидов I1 || X1, I2 || х2, I3 и х3, для другой пары — I1 || X1, I2 || хя, I3 || X2 и для третьей пары — I1 Il х3, I2 Il х2, I3 Il X1.
Если токи от отдельных эллипсоидов просто складываются, то, например,
°U22 = ?<vp = 2<>22 + 2ст<?>з + 2ст&2 = п~ <т«> ,M1122, (8.45) і
где концентрация электронов n = Nctiu\ Nc = 6—число эквивалентных минимумов и
M1122 = TcYt M&vp = J [М$22 + М&3 + Mf3n] =
1 т'±-
(8.45а)
Аналогично могут быть вычислены все отличные от нуля коэффициенты M^vp в обоих случаях А и Б. В случае Б дело не-S 8]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ
543
сколько осложняется тем, что главные оси эллипсоидов энергии не параллельны ребрам куба элементарной ячейки, поэтому для определения компонент тензора Mtrlivp через компоненты тензоров Mftlivр надо преобразовать последние к координатной системе О, связанной с кристаллом (см. Приложение 11).
Для сравнения теории с опытом представляется более удобным ввести вместо величин M^ivp безразмерные коэффициенты
Ffovp= Afjftvp, (8.46)
зависящие только от отношения компонент тензора эффективной массы. Используя (8.166), (8.316) и (8.44), легко составить
Таблица IX.1
T7(I) ^ 1122 3 (т х -I- 2т її) тх (т и +2m±)2
J7(I) г«') ^1133 = ^2233 3 (mx + 2m„) тп (ти +2отх)2
T7(I) г.(і) г 3311 ~ * 3322 3 (т L + 2т м) тх (ти +2тх)2тп
I7(I) I7(I) I7(I) '1212 — ґізіз = Г 2323 3 (тх -f-2/Пц) тх 2(тп+2т±)«
табл. IX. 1. Компоненты тензора магнетопроводимости O^vp в координатной системе, связанной с осями кристалла, равны
fw - ? <™ = ? <*> ,"-т ? n«'F а,„ _
=S <'¦> ?'• к L ¦pS- - © (»S) (Ї)' (8-47'
і
где суммирование производится по всем эквивалентным минимумам бриллюэновской зоны. Здесь а и р,—электропроводность и подвижность при H = О (8.16) и (8.17), Nc—число эквивалентных минимумов в бриллюэновской зоне и
^41?' (8-47а)
і
При вычислении F^Hvp» аналогичном вычислению Mxlivp, необходимо компоненты тензоров FHivp относящихся к различным544 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
минимумам, преобразовать от главных осей эллипсоидов энергии к координатной системе, связанной с осями кристалла. В случае А это делается элементарно; в случае Б необходимо составить таблицу направляющих косинусов между главными осями эллипсоидов энергии и осями, совпадающими с ребрами куба элементарной ячейки. Результаты таких вычислений сведены в табл. IX.2. Запишем электрический ток, соответствующий компоненте тензора Gilivp (8.47), в виде
(в.«.
Здесь первый безразмерный множитель порядка 1 связан с зависимостью т от энергии є; если т от є не зависит, он равен 1. Второй безразмерный множитель связан только с отношением компонент тензора эффективной массы и конфигурацией эллипсоидов энергии в бриллюэновской зоне. Наконец, третий множитель равен омическому току OE11, умноженному на два малых безразмерных множителя, пропорциональных магнитному полю.
Из табл. IX.2 видно, что в общем случае симметричный тензор (Tjiixvp в кубическом кристалле описывается тремя независимыми величинами: <ruu, aUwt, oK?n? + оКтК. Соответствующий этому тензору ток, например в направлении оси 1, равен
z1 = 2 ollivpEllHvHp = o1111E1H21 + o1122E1Ht + o1133E1H23 +
M-vP
+ (o1 212 1221
) E2H1H2 + (о
1313 "1331/
E3H1H3. (8.49)
Симметризуя подобно (8.41) коэффициенты и обозначая их так же, получим
/1 = o1111E1H^o1122E1Hl + o113sE1Hl + 2 o1212E2H 2+2 o1313E3H JI3.
(8.49а)
Обозначая
0Iiii = ?'> о1212 = о1313=а, 2о1212 = 2о1313 = ?, (8.50) запишем (8.49а) в виде
Z1 = aE1 (H21 + H22 + H23) + рЯ, (E1H1 + E2H2 + E3H3) + уЕ.Щ, (8.51) где
у = у' — а—?. (8.51a)
Из выражения (8.51) видно, что плотность соответствующего тока
J=aH2E + $(EH)H+yF, (8.52)
где вектор
FiE1H21, E2Hl E3H*), (8.52а)
т. е. имеет по оси р. составляющую E11H211. Учитывая (8.32), видим, что полный ток
j = oE + 4[EH] + ccH2E + P(EH)fJ+yF, (8.53)S 8] ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ 545
E-Is4
<< й. й. ^ ч, Il а. S Is^ сч + лі S-Ie4 + сч <N + S-Ig4 ю + СЧ Cl E-IS4 I СЧ =I 4 ^ і a. ^ с Il (з і oe -|<N + -Ci I
Ч, СО сч E-Is4 СЧ + S Is CD e
> > << йГ» Г I CI є=І є4 E-Is4 + M eis-1 + <N s Is4 <N + E-Is ю + <N N E-Is4 + Ol e Cl oe I
=I -I e
E-Is4 <N + S Is s Is4 <N E IE CO I
+
E-Is4 СЧ + 7) S-IE4 to +
ч. O 7 E-IE + S-IE-1 CO << •< •< to •o + Q I
Ol 546 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [
ГЛ. IX
т. е. характеризуется пятью константами а, т], а, ? и у. В изотропном случае, т. е. при сферической форме поверхностей энергии,