Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
где ес (0) — уровень энергии, соответствующий нижнему краю зоны проводимости цс = еА/2тсс—эффективный магнетон Бора, соответствующий электрону, N = 0, 1, 2, ...—квантовое число осциллятора. Мы видим, что в скрещенных электрическом и магнитном полях собственные значения энергии ес зависят от kv, т. е. вырождение по ky, которое имело место в магнитном поле, снимается.
Собственные функции уравнения (7.22) равны
ср(x) = ф/,(X-Xc)в6X13 [ 2j~TlllHN{^), (7.24)
т. е. имеют тот же вид (VI.5.19а), что и при наличии одного магнитного поля (конечно, с другой постоянной хс (7.216)); Hn—полиномы Эрмита. S 7] ТЕОРИЯ МЕЖЗОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА 443
Для того чтобы определить коэффициент поглощения света в скрещенных электрическом и магнитном полях аи/Е для прямых разрешенных переходов необходимо, в соответствии с (7.9), знать волновые функции (7.19) и собственные значения энергии (7.23) и для дырок в валентной зоне.
Для дырок в валентной зоне с зарядом +ей эффективной массой mv получим вместо (7.21а) — (7.21 в)
, (7.25а)
v mvc 4 '
+ (7.256)
+ (7.25в)
где мы заменили —е на е и тс на mv. Для собственного значения энергии дырки вместо (7.23) получим
е. = є, (0) - (2ЛГ +1) iivH-wv =
= E17(0)-(2ЛҐ + l)}XvH-f^-^eEk'y + ^f (f Y . (7.26)
2mv '2 \Н _
Здесь |х0 = єК/Іш^р—эффективный магнетон Бора, соответствующий дырке. При этом мы энергию дырки отсчитываем от края валентной зоны ег(0) в отрицательном направлении («вниз»). Можно было бы вместо этого рассматривать состояние электрона в валентной зоне с отрицательной эффективной массой — mv, при этом мы получили бы для Ev то же выражение (7.26). Матричный элемент S9vc (7.9) будет теперь равен
OD
Pvc=r^cA0 (epcv(0))okyk.8kzk.z j (X-Xv)dx. (7.27)
— 00
Мы видим, что как и в случае (7.9), ky = k'y, kz = k'z, однако теперь хсФх11 (так как mc^m.v); из-за того, что центры тяжести осцилляторных функций теперь не совпадают, они не ортогональны друг к другу, т. е. в общем случае интеграл отличен от нуля при N^N'.
Для его вычисления можно воспользоваться формулой *)
00
5 e-x*Hm(x + y)Hn(x + z)dx = 2»Vnm\z»-m??nm-m(-2yz), (7.28)
— OO
где m^tt, а ??птт — обобщенные полиномы JIareppa2). Преобра-
rJ Г рад штейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—M.: Наука, 1962, с. 852, (7.377).
2) Лебедев Н. Н. Специальные функции и их применение. — М.—Л., 1963, с. 100. 444 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
зуем интеграл в (7.27), положив (х—xf)A = ? — а и выберем а так, чтобы исчез линейный по | член в показателе экспоненты. В этом случае интеграл в (7.27) равен
ехр[_(^)а] jVi
-«Р [2 (?^)2] ,
(7.29)
где N' ^ N (в случае N' > N надо поменять местами NcN' и xv с хс)\ SnnTn' (и)— полиномы степени N' от и; первые из них равны
Sp0(U) = I, XS(U) = I+Р —и, 21 (и) = V2 [(1 + р) (2 + р) - 2 (2 + р) и + и»].
Мы можем теперь S1vc (7.27) записать в виде
Pvc=-L А0(ерсь(Щ bkyk.bkzk.Vne-4>2NN'\r-N'SNN7N'(2r),
У (7.30)
где
Xv-Xe (,mc-\-mv) сХЕ п qn ..
V = T =-ш-• (7.30а)
Аргумент б-функции, входящей в Wvc (7.10), равен Ze-Bv-Im = ев + (2N + 1) \1СН + (2N' +1) ^vH +
+ (IY-ACO, (7.31)
"2«7 * \Н .
где мы использовали то, что ky = k'y и kz = k'z. Поступая далее, как и в предыдущем пункте, получим для коэффициента поглощения в скрещенных электрическом и магнитном полях для прямых разрешенных переходов
^=^1^(°) I2(S)37V^-2v2E ^"[лпр^-^х
^ ' NN'
X[J?%TN' (2f)f ^fm-га-(2N +1) ^cH~(2N'+ 1) ^H +
+ («e+mp)c»gj-»/2> (732)
где iV'<iV.
Отметим основные особенности поглощения света в скрещенных электрическом и магнитном полях:
а) не существуют правила отбора по квантовым числам магнитных осцилляторов Af и ЛГ, т. е. в принципе переход может осуществляться между любыми подуровнями Ландау в валентной зоне и зоне проводимости; $8]
ЭФФЕКТ ФРАНЦА - КЕЛДЫША
445
б) с ростом электрического поля ан/Е убывает экспоненциально; при больших полях ан>Е со E2 эт0 налагает ограничение на величину максимального электрического поля, при котором вообще может наблюдаться поглощение: Emn« &hH/(mc + mv)cX (у2 ~ 1);
в) для разрешенных при E = 0 переходов (N = N') смещение пика поглощения в электрическом поле равно: ДАш = (тс + mv) х X са?2/2Я2; измеряя это смещение, можно определить сумму эффективных масс mc-\-mv. Так как из измерения ан (7.14) можно определить относительную эффективную массу тг= = mctnvl(tnc-\-mv), то оба измерения ан'Е и а я позволяют определить эффективные массы тс и mv в отдельности; эти же массы можно определить из частот переходов между уровнями с N^=N'.
Эффективные массы тс и mv могут быть определены и по разности частот переходов, запрещенных при E = 0, но возгорающихся в электрическом поле.
§ 8. Поглощение света в полупроводниках в однородном электрическом поле (эффект Франца — Келдыша)
1. В 1958 г. независимо В. Франц и JL В. Келдыш теоретически исследовали поглощение света в полупроводнике в однородном электрическом поле.
Задача может быть решена по общей схеме изложенной в предыдущем параграфе. Мы будем рассматривать полупроводник с простой зоной и будем считать, что электрон в зоне проводимости описывается скалярной эффективной массой тс, а в валентной зоне — отрицательной эффективной массой — mv.
