Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица VII.2
X ? і E 2С3 3 Jav J 2 JC3 3<т„
Xй 6 0 0 0 0 2$3]
МЕЖЗОННЫЕ НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
425
Можно показать, что оператор взаимодействия ЧІ преобразуется по тем же неприводимым представлениям, что и нормальные координаты, т. е. по представлениям (3.13). Мы подойдем к вопросу несколько иначе. При разрешенном переходе, связанном с испусканием фонона, начальное состояние системы состоит из электрона, описываемого волновой функцией с симметрией Ц, конечное состояние—из электрона в состоянии L1 и фонона, волновая функция которых должна обладать той же симметрией Tg, а это означает, что прямое произведение TaXL1 на одно из неприводимых представлений (3.13) должно содержать неприводимое представление Га; или, что то же самое, прямое произведение Г2 X L1 должно содержать одно из неприводимых представлений (3.13).
Характеры Ц, соответствующие классам группы D3d, можно взять из табл. III.2. Характеры прямого произведения TaXL1 будут равны значениям в табл. VII.3. Разлагая HxL1 по неприводимым представлениям группы D3d, получим
Г; X L1 = La, (3.15)
как легко проверить по табл. VI 1.1.
Таблица VII.3
Dad E 2 C3 3 Ca J 2 JC3 3 JCi
T2XL1 1 1 —1 — 1 — I 1
Рассматривая второй канал, совершенно аналогично получим
V25XL3 = Ll +U2+2L'3. (3.16)
Сравнивая (3.15), (3.16) с (3.13) и (3.14), видим, что в непрямых переходах могут участвовать фононы:
L2—LA—продольный акустический фонон, 2L'3—ТО — поперечный оптический фонон. (3.16)
При этом переход с участием L/4-фонона может происходить через зону Га или L3, а переход с участием ТО-фонона происходит только через зону L3; множитель 2 при L3 в (3.16) указывает, что имеется два линейно независимых матричных элемента, определяющих вероятность этого перехода. В то же время переходы с излучением или поглощением продольных оптических фононов и поперечных акустических фононов запрещены и в рассматриваемом нами процессе участвовать не могут, независимо от того, рассматривать ли переходы через зоны Га' и L3 или через426
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
другие ThL; это следует из того, что произведение представлений Г25, L1 и представления соответствующего поглощению фотона (см. § 2, п. 3), не содержат представлений L3 и L2, связанных с поглощением фононов.
§ 4. Поглощение света в полупроводниках свободными носителями
При частотах, меньших частоты соответствующей краю межзонного поглощения света в полупроводниках, может наблюдаться слабое внутризонное поглощение свободными носителями.
Рассмотрим простую феноменологическую теорию поглощения света свободными носителями.
Мы будем исходить из уравнений Максвелла *) для однородной, изотропной, проводящей и немагнитной (fi=l) среды:
rot H= f E Е, (4.1а)
rot E= -J- Н, (4.16)
div E=O, (4.1в)
div H= 0. (4.1г)
Здесь E и H—напряженности электрического и магнитного полей, є—диэлектрическая постоянная, определяющая вектор индукции D = eE, а—удельная электропроводность, определяющая ток J по закону Ома (J= аЕ); свободные заряды в правой части (4.1 в) отсутствуют.
Для того чтобы исключить H из (4.1а), (4.16), возьмем ротор от обеих частей уравнения (4.16) и производную по времени от обеих частей уравнения (4.1а); используя тождество2) rot rot = = graddiv—V2 и уравнение (4.1в), получим
ГЕ=±Ё+^Ё. (4.2)
Для непроводящей среды (а = 0) это уравнение превращается в волновое уравнение.
Уравнение (4.2) имеет частное решение в виде плоской волны с комплексным волновым вектором X (1.13); подставляя (1.13) в (4.2), получим
х) Тамм И. E., § 91. а) Смирнов В. И., с. 365.ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА B ПОЛУПРОВОДНИКАХ
427
Отсюда комплексная диэлектрическая проницаемость
ё=яа = (п +ik)* = B+2?i, (4.4)
где n = n-\-ik— комплексный показатель преломления.
При малых и мнимая часть є равна 4ла/(о, где а—вещественная статическая электропроводность, не зависящая от частоты (0.
Покажем, что при больших частотах и удельная электропроводность начинает зависеть от со и становится комплексной. Как мы видели в § 1, п. 1, свободные носители, взаимодействующие только с электромагнитной волной, не могут поглощать света. Учтем взаимодействие свободных носителей с искажениями решетки (тепловыми колебаниями, примесями) посредством времени релаксации т, так как это было сделано в гл. VI, § 6. Положим в (VI.6.4) магнитное поле H=O, тогда
V = еЕ* т (4 5)
* т* 1 — !'сот' Vw
Плотность тока вдоль оси х
jx = 6Ex = N0evx = ^ji^, (4.6)
где N0—концентрация свободных носителей; отсюда
1 1-f kdt
= !+CO2T2 ' (4-7)
где O0 = N0e2x/m*—значение удельной электропроводности в постоянном электрическом поле.
Подставляя (4.7) в (4.4), получим
e = + = + ^ = + (4.8)
Таким образом, вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости равны
E1 = Zi2-fc2 =
4лст0 CDT
= e-
(d 1+ц)2т2
:е——Ima = efl--5^-s-V (4.9)
cd \ cuj+0)2y ' v '
„ = —J_= JiL.Reo =є —_(4 9аї
e2-znr- и 1 + co2t2 co ш cd2 + cd2 ^-yaj
Здесь Oi0 = 1 /т—частота столкновений с нерегулярностями решетки, a-at =VAnNffiiIzm*—плазменная частота.