Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь теорию межзонных переходов в полупроводнике со стандартной зоной, помещенном в сильное (квантующее) магнитное поле.
В гл. VI, § 5, п. 3 мы рассмотрели движение электрона со скалярной эффективной массой т* в квантующем магнитном поле (Л. Д. Ландау, 1930) и показали, что его волновая функция равна
FNkykAx, У, г) = (х—х0). (7.1)
Здесь <рдг(х—х0) — осцилляторная функция, отнесенная к положению равновесия X0 = —(hcjeH) ky, N—квантовое число осциллятора. Для простоты мы предполагаем, что линейные размеры кристалла по всем трем направлениям равны единице. Собственные значения энергии, соответствующие собственной функции (7.1), равны
^2 а,2
8^, = (2^ + 1)11^+?. (7.2)
1J Обзор экспериментальных данных с подробным указанием литературы см. в книге: Optical properties of Solids./Ed. by F. Abeles.—Amsterdam, London: North-Holland Publ. Сотр., 1972, p. 366. S 7] ТЕОРИЯ МЕЖЗОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА 437
Здесь |х* = eA/2т*с—«эффективный» магнетон Бора; при этом 2\i*H = Atoc, где й>с = еН/т*с—циклотронная частота. Собственные значения энергии (7.2) вырождены по квантовому числу ky.
Как показали И. Латтинджер и В. Кон (1955), волновая функция электрона в периодическом поле кристалла, помещенном в квантующее магнитное поле, в первом приближении, т. е. без учета взаимодействия с другими зонами, равна
W (х, у, г) = u„0 (г) Fskykl (х, у, г), (7.3)
где ип0(г) — блоховская волновая функция электрона unk(r)eikr в точке k = O (предполагается простая невырожденная зона с минимумом энергии в точке & = 0).
При наличии поля световой волны и внешнего магнитного поля гамильтониан Ж (2.4) равен
о]Чт (7.4)
где для постоянного магнитного поля, направленного вдоль оси г, вектор-потенциал 4° = {0, Hx, 0} (см. (VI.5.11)).
Возмущением в (7.4), как и в (2.4), является поле электромагнитной волны А (г, t) (2.8). Поступая аналогично (2.5), получим вместо (2.7) возмущение
^' = ^ (г, 0 [р+ (7-5)
Матричный элемент этого возмущения между волновыми функциями (7.3) для валентной зоны и зоны проводимости равен
Sive = <We IЖ1 = J u*c0F'v,§C'uv0Fv d3r. (7.6)
Здесь 1Fc и xF0—волновые функции (7.3) для зоны проводимости и валентной зоны, v=={#, ky, kz} — квантовые числа электрона в квантующем магнитном поле.
Подынтегральное выражение (7.6) содержит быстро меняющиеся в пределах ячейки кристалла Q0 функции и*с0 (г) и ив0 (г) и медленно меняющиеся множители Fv' (г) и Fv(r). Перейдем в (7.6) от интегрирования по основной области кристалла V = ZQ0 (V=I см3) к сумме интегралов по объемам кристаллических ячеек Q0:
Sive = J U^F'Л А (р + -f Л») UvoFv d3r =
= ^I [(Apuvo) Fv + (ApFv) Uvo + -і AA0UvoFv] d3r =
+ (Ft,ApFv) J Ul0Uv0 d3r + у AA0Fv-Fv J u'c0uv0 d3r \ . (7.7) q0 Й» J 438 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
При этом мы вынесли из под знаков интегралов по элементарным ячейкам Q0 медленно меняющиеся функции.
Из-за ортогональности функции Uc0 и M00 два последних слагаемых в фигурной скобке (7.7) равны нулю и
SiVc = ? FtvlFvQ0 • j и*с0 ~ Apuv0 d*r =
Z Q0
= f F*.FV d*r ~ j Ut0 JL Apuvo d3r. (7.8)
V ° q0
где мы заменим суммирование по Z интегралом по объему V.
Полагая А равным (2.8) р = — /Av и полагая, как и в § 2, волновой вектор фотона и «О, получим, используя (7.1),
Л0 (epcv) j el (*у 'Я tJ dy j І Zdz X
X§(рн<(х— X0) (pA(X-X0) dx, (7.9)
где pcv равно (2.20a).
Интеграл по области Ly = 1 см равен
J * ( 0, если ky Ф ky I Wy'
т. е. символу Кронекера; аналогично для интеграла по dz. Так как осцилляторные функции фдг(х—х0) ортонормированы, а X0 = X0 (из-за того, что ky = k'y), то последний интеграл в (7.9) равен бNN'- В результате вместо (7.9) получим
SiVC = ^A, (epj Skyk-Ькгк>ЬNN'. (7.9а)
Для вычисления числа переходов в единице объема в единицу времени, под действием возмущения Ж' (7.5), необходимо суммировать (интегрировать) при вычислении Wvc как по начальному, так и конечному состояниям, т. е. по квантовым числам v = = ky, kz\ и v' = {W, ky, k'z\. В силу (7.9a) это двойное суммирование может быть сведено к суммированию по N, ky, kz. Таким образом, аналогично (2.21) получим
""-=T S I'«I*»(».-«.-*«>)=
N
-B0-VN, (7.10) где обратная приведенная эффективная масса Xlmr=XlmcArXlmv S 7] ТЕОРИЯ МЕЖЗОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА
439
и «приведенный эффективный магнетон Бора» \кг = е%12т,?-, в аргументе б-функции мы положим N' = N (так как k'y = ky) и k'z = kz.
Поскольку ky = — J-Xt), а 0 ^x0 ^l1 интегрирование по ky
he
дает
Далее
еН he
dk, б
B-
2тг J h \ 2 /
(7.11)
(7.12)
в чем легко убедиться, заменив переменную интегрирования kz на I = Pky2mr.
Коэффициент поглощения света ан равен числу переходов Wvc (7.10), деленному на поток фотонов Nv = Nc/n1); если подставить в (7.10) вместо A0 (2.12а) и воспользоваться (7.11) и (7.12), то мы получим
^h=-T-I epcv (0) р (?)3'3 )xrHS\[1m-za~(2N + 1) VirH]-V\
т'тпе \ h /
(7.13)
Сумма по N ъ (7.13) распространяется на все значения N, для которых подрадикальные выражения не отрицательны. Те значения (о, NnHt для которых под-радикальное выражение в (7.13) равно нулю, определяют сингулярные точки коэффициента поглощения ан. Эти точки соответствуют условию
