Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
= /„(«?) ®)-W (©,©')} ^V = 0, (1.9)
так как S = S'- При произвольном v интеграл может равняться нулю только в случае
W (v,v') = W (V', V). (1.10)
Последнее равенство есть следствие общего принципа детального равновесия, согласно которому вероятности прямого и обратного процессов одинаковы. При вычислении вероятностей перехода в квантовой механике равенство (1.10) является прямым следствием ее законов.
Если на электроны действует только электрическое поле Е, направленное вдоль оси х, то, как будет показано ниже, поправка§1]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
459
к функции распределения может быть представлена в виде*)
(1-11)
где % (є)—некоторая функция энергии г = (v2x-\-v2y-\-v2^). Подставляя (1.11) в (1.7а), считая столкновения упругими (є' = є) и учитывая равенство (1.10), получим
(^.,=-^^0-4)*°'- (1Л2)
Так как мы предполагаем, что рассеяние электронов упругое, то
W(v,v') = W0(v, 0)6 (u—о'), (1.12а)
где б (и—v') учитывает, что при рассеянии v = v' и 0—угол между направлениями скоростей v и г»'.
Выбирая V в качестве полярной оси в пространстве скоростей г»', как это показано на рис. VI11.3, имеем
d»v' = v'2smQdQd<$ = v'2 dQ, (1.126)
где 0 и Ф—полярный и азимутальный углы, определяющие направление вектора а dQ = sin0d0d(P—телесный угол в направлении v'. Ось х совпадает с направлением электрического поля Е. Имеем Рис. VIII. 3.
v'x = v' COS CL = V COS Cl, Djf = WCOS^. (1.12в)
Из сферической тригонометрии известно2), что
cos a = cos Ф cos0 + sin Ф sin 0 cos Ф.
Подставляя (1.12а)—(1.12г) в (1.12), получим
= (0)(1-cosG)dQ, (1.13)
где W (Q) du = V2W0 (v, 9)dQ — вероятность упругого рассеяния за 1 сек электрона со скоростью v в телесный угол dQ. Так как интеграл в (1.12) имеет размерность, обратную времени, то можно
(1.12г)
J) Т. е. в виде произведения некоторой функции от энергии є на vx;
— выделяется Для удобства дальнейших расчетов.
2) Кочин Н. E., гл. I,
множитель460 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[гл. viii
ввести время релаксации х, положив
1 = jV(9)(l— cos9)dQ. (1.13а)
Время релаксации зависит только от скорости электрона v (или его энергии є) и механизма его рассеяния. Из (1.13) и (1.13а) следует, что
= (1.14)
dt /ст т т v '
Наглядный смысл времени релаксации можно выяснить, рассматривая установление статистического равновесия в однородной системе, в которой в начальный момент времени ^ = O распределение по скоростям не было равновесным и на которую не действуют силы. Полагая VrZ = O и F = 0, имеем на основании выражений (1.6), (1.7а), (1.14)
aM df _ f-fo
dt )ст dt X
Интегрируя последнее равенство, получим
(/-/о) = (/-/о),=оЄ-'/т. (1.14а)
Мы видим, что t есть время, в течение которого разность (/ — /р) при выключении внешнего поля уменьшается в е раз. Так как стремление к равновесию в системе происходит в результате столкновений электронов (с колебаниями решетки или дефектами кристалла) и при этом достаточно нескольких столкновений для того, чтобы электроны пришли к равновесному состоянию, то время релаксации т порядка времени свободного пробега электрона. Мы определим среднюю длину свободного пробега электрона
l = v т. (1.15)
Как мы увидим ниже, во многих практически интересных случаях поправка к равновесной функции распределения Z1^S/„, поэтому с точностью до величин первого порядка f1 можно в левую часть уравнения (1.8а) подставить вместо / равновесную функцию /0. При наличии только электрического поля из (1.8а) и (1.14)
<1Л6>
Таким образом, если нам известно время релаксации т, то по формуле (1.2а) можно определить плотность тока. Одновременно мы видим, что Z1 действительно имеет, вид (1.11), где х(е) = = —еЕх (и).
4. Вычислим время релаксации по формуле (1.13а) для электронов (дырок), сталкивающихся (рассеивающихся) с примесными§1]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
461
ионами, распределенными с постоянной средней плотностью по объему проводника. Рассмотрим по законам классической механики движение дырки в кулоновском поле донора:
Ъ0Г
Здесь е — элементарный заряд,
Можно показать1), что дырка движется по гиперболе и что ее «прицельное расстояние»
& = (1.18)
(1.17)
диэлектрическая постоянная.
e0mv
Рис. VIII. 4.
где 0 — угол рассеяния дырки (рис. VIII.4). Выражение (1.18) справедливо и в случае рассеяния электрона на доноре, когда потенциальная энергия притяжения равна (1.17) со знаком минус. Конечно, в этом случае движение по гиперболе имеет место
только в том случае, если полная энергия электрона Щ- -J-
+ Ч1(г)> О2).
Дифференциальное эффективное сечение а (0) по определению равно
О dQ_число электронов, отклоненных на угол 8 в телесный угол dQ
^ число электронов, упавших на 1 см2 за то же время
(1.19)
и имеет размерность площади (см2).
Все частицы, движущиеся параллельно оси х и падающие на кольцо площадью 2nbdb, отклонятся на угол 8 в пределах телесного угла dQ = 2пsin8dQ, где связь между \db\ и ^определяется из (1.18).
Из (1.19) следует, что