Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Juom^-Sa = (2N+\)іігН, (7.14)
где ютах—частота света, соответствующая максимуму поглощения. Конечно, на самом деле коэффициент поглощения ан не обращается в этих точках в бесконечность, так как существует ряд факторов (например, взаимодействие электронов с колебаниями решетки), которые «замывают» бесконечные нити. Такие конечные пики (осцилляции) <хн наблюдаются на опыте.
Из (7.14) видно, что при заданном N частота света (omax линейно зависит от магнитного поля Н. На рис. VII.3 представлены зависимости частоты света (omax от магнитного поля H для разных N. Вертикальная прямая H = const пересекает полупря-
Рис. VII. 3.
1J Здесь N—число фотонов В 1 CM3. 440
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
мые для разных N, определяя при заданном H соответствующие пикам поглощения значения Wmax. Точки пересечения горизонтальной прямой CO = COnst определяют при данной частоте сошах значения магнитного поля H, соответствующие пикам поглощения.
Наблюдаемая на опыте картина часто более сложна: кривая поглощения состоит не только из пиков, но и из ступенек; это связано с тем, что наряду с прямыми разрешенными переходами, рассмотренными выше, могут существовать непрямые переходы с участием фононов и запрещенные переходы, которые ведут себя по-разному при е \\Н и ej(е—вектор поляризации в (2.8)).
Рассмотрим кратко непрямые переходы. При непрямых переходах мы должны в (3.1) отдельно суммировать по N и N' и интегрировать по ky и k'y, kz и k'z (в этом случае равенство (7.9а) не имеет места, так как во взаимодействии участвует фонон со своим волновым вектором q). Двойное интегрирование по ky и k'y дает, согласно (7.11), множитель (eH/fic)2', опуская постоянный множитель, получим
'2
¦а. ~ ($)' і Я ^6 h'+¦1)^+H
2 тс
NN'
+ е0 + (2N + 1) HvH ++ h(oq - Aco
(7.15)
В аргументе б-функции появляется дополнительное, по сравнению с (7.10), слагаемое + Асо?, связанное с поглощением (верхний знак) или испусканием (нижний знак) фонона.
Введем переменные: (k2k2J2mv) = х2, (n2k'2/2mc) = y2 их2+ у2 = = г2, тогда двойной интеграл в (7.15) будет пропорционален величине 00
5 d(r2) б [г2 {Juu ± Йю,-е<ч) - (2N + 1) HvH-(2N' + 1) цсЯ],
(7.15а)
где мы воспользовались тем, что dkz dk'z codxdyco г dr = 1^d (г2). Из свойств б-функции известно, что
с ( 0, если а < О,
\6(x-a)dx = e{a) = { 1)Єслиа>0 (7.16)
«Ступенчатая» 0-функция используется в математике наряду с б-функцией.
В результате мы можем для (7.15) написать
«неп cv C^V ? в [AO ± fmq - ес-(2N + 1) HVH~(2N' + 1) \хсН].
^ NN'
(7.17) S 7]
ТЕОРИЯ МЕЖЗОННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА
441
hu)
Рассмотрим зависимость а^еп от энергии фотона Tm при постоянном магнитном поле. Выберем слагаемое в сумме (7.17) с N = N' = 0. Для малых Ato, пока аргумент функции 0 (и) меньше нуля 6(и) = 0; пусть при увеличении Aco в точке 1 на рис. VI 1.4 аргумент функции 6 (и) становится равным нулю, тогда для больших значений Aeo функция 6 (и) = 1 и а^п испытывает скачок, изображенный на рисунке. В точке 2 для другого слагаемого, например Ar=I, N' = О, аргумент функции 8(и) становится равным нулю, так что в а„еп появляется вторая ступенька. Из-за того, что [iv ф \ic и энергия фонона Acog разная для разных колебательных ветвей и может вхо- Рис- VI1-дить со знаком плюс или минус
в аргумент функции 0 (и), ступеньки в имеют нерегулярный характер, как это и изображено на рис. VII.4. Прямые запрещенные переходы, которые мы не будем рассматривать, в еще большей мере усложняют картину поглощения света в полупроводниках в магнитном поле.
2. Новая полезная информация о полупроводниках может быть получена при изучении поглощения света в скрещенных электрическом и магнитном полях (А. Г. Аронов, 1963).
Пусть магнитное поле H направлено по оси г, а электрическое поле E—по оси х. Выберем вектор-потенциал, как и в гл. VI, § 5, п. З в виде Л = {0, Hx, 0}.
Уравнение Шредингера для электрона в зоне проводимости с эффективной массой тс и зарядом —е имеет вид
SfCF (г) = BcF (г),
(7.18)
где гамильтониан U2 а«
Здесь потенциальная энергия электрона в электрическом поле равна — (— е) Ex = еЕх.
Так как гамильтониан Ж не содержит явно у и г, то решение (7.18), как и в гл. VI, § 5, п. 3, ищем в виде
F (х, у, г) = ц>(х)е{<куу+к^. (7.19)
Действуя на (7.19) гамильтонианом Ж и сокращая на экспонен- 442 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
циальный множитель, получим
(7.20)
Это выражение может быть приведено к виду
(7-21)
где Oic, Xc и Wc—постоянные, не зависящие от X. Сравнивая коэффициенты при X2, Xі, X0=I в (7.20) и (7.21), получим
еИ (7.21а)
ITlcC
Xc=-Vky--, (7.216)
" Jitoc
р-Я.)
Здесь мс—циклотронная частота для электрона проводимости с массой тс, К = (fi/meac)1/2 = (ftc/eH)1/2—магнитная длина. Уравнение Шредингера (7.18) для функции ф (х) приобретает вид
-5^?^ +T m^ (х-х^ Ч5 W = 1P W' (7'22)
аналогичный (VI.5.18).
Таким образом, собственные значения энергии
ес = е (0) + (2N + 1)нсН +Wc =
= єс (0) + (2N + 1) ^cH + ^f-VeEky-r^f (I)' , (7.23)
