Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
a(0)2nsin8de = 2ji&|db|. (1.19а)
Из (1.18) имеем
db = -
1
2e0mv2
¦ 2 6 sin2T
¦dQ.
(1.18а)
Из выражений (1.19а), (1.18) и (1.18а) получим формулу
*) Бор н M., Атомная физика. M.: Мир, 1965, с. 384.
2) На рис. VIII.4 правая ветвь гиперболы изображает траекторию дырки,
а левая ветвь—траекторию электрона.462 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[ГЛ. VIII
Резерфорда
4 " ' Sin1 Y
использованную им при изучении рассеяния а-частиц на ядрах тяжелых элементов.
Определим интегральное сечение как
я
a= J a(0)dQ = 2n 5a(8)sin8d8, (1.21)
о
т. е. как полное число рассеянных частиц в расчете на единичную плотность потока падающих частиц.
Легко показать, что для кулоновского поля, когда дифференциальное сечение имеет вид (1.20), интегральное сечение а равно бесконечности. Это является специфической особенностью кулоновского потенциала (1.17) и обусловливается медленностью его спадания. Установим связь между a (6) и вероятностью W (v, v'), которая при упругом рассеянии зависит от угла 6 между скоростями v' и V и их абсолютным значением.
Пусть в объеме V имеется кулоновский центр и N электронов, движущихся по всем направлениям со скоростями v. В 1 сек на этот центр упадет поток электронов, равный (NlV) v (мы для электронов каждого направления выберем площадку в 1 см2, перпендикулярную к их движению). Полное число электронов, рассеянных в 1 сек на угол между 6 и 6 + d0, равно (N/V) vo (0) dQ.
С другой стороны, это же число равно NW (0) dQ; таким образом,
Г(0) = ш(0)/У. (1.22)
Легко проверить, что правая часть равенства имеет размерность сек_1.
Подставляя (1.22) в (1.13а) и заменяя dQ' = 2я sin0d0, получим I= J^ Ja(0)(l—cos0)sin0d0. (1.23)
Если в объеме имеется N независимо рассеивающих ионов, то І- = 2яVtir J а (0) (1 — cos 0) sin 0 dQ, (1.23а)
где U1=N1IV—концентрация ионов.
Если подставить сюда вместо а(0) выражение (1.20), то интеграл на нижнем пределе при 0 = 0 логарифмически расходится, что обусловлено (так же как и для расходимости интегрального сечения а) медленностью убывания кулоновского потенциала.
Расходимость выражения (1.23а) может быть устранена, если мы в том или ином виде учтем поле, создаваемое остальными§2]
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ 463
электронами проводимости, которые экранируют поля ионов и «обрезают» действие кулоновского [потенциала. С этой точки зрения представляется естественным сферу действия каждого рассеивающего центра ограничить половиной среднего расстояния между ионами. Тогда наибольшее значение прицельного расстоя-
ния ^max = V2"/1/3; наименьшее значение угла рассеяния 9, определяется из формулы (1.18):
(1.24)
Из выражений (1.23а) и (1.20) следует
J__9 ( е2 Y Г O-Cos е) sinede
т ~~ т' Ue0mv2 J J sin1 (9/2)
6Itiin
Заменяя 1—cos9 и sin9 на 2sin2 (9/2) и 2sin (9/2) cos9/2 и используя равенство (1.24), получим
1 2лп/еі
min
во
Это выражение для времени релаксации т при рассеянии носителей тока на ионах примеси часто называют формулой Конвелл — Вейскопфа (1946).
Так как логарифм в (1.25) — медленно меняющаяся функция V, то практически время релаксации
т c\3 V3 OO г3'2. (1.25а)
Используя выражения (1.25) и (1.16), можно по формуле (1.2а) вычислить плотность тока,а следовательно, и удельную электропроводность.
§ 2. Кинетическое уравнение для электронов в кристалле
1. В предыдущем параграфе предполагалось, что движение электронов подчиняется законам классической механики, поэтому их состояние описывалось в г- и ©-пространствах и считалось, что
T-T"- <2-»
Последнее уравнение справедливо и в квазиклассическом приближении, если энергия электрона є = hzk2/2m* = m*v2/2, где т* — эффективная масса, a v = %klm*.
Таким образом, если энергия электрона є (k) имеет приведенный выше вид, то применимы все формулы предыдущего параграфа при замене т на т*.464 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
В общем случае произвольного закона дисперсии е(?) скорость электрона в кристалле (IV.3.32) равна
и не равна %klm*\ поэтому возникает вопрос: какой вид имеет кинетическое уравнение (1.8а) в этом случае?
В квазиклассическом приближении электрону может быть приписана траектория, по которой он движется со скоростью (2.2). Волновой вектор электрона к, характеризующий его квантовое состояние, удовлетворяет в квазиклассическом приближении уравнению (IV.3.35):
I = Tf- <2-3>
Рассматривая электроны в г- и ^-пространстве, введем функцию распределения f(k, г, t), так что
/(*, 0?" (2-4)
равно числу электронов в момент t в точке г в единице объема с составляющими волнового вектора от kx до kx-\-dkx и т. д. (d3k = dkxdkydkz).
В состоянии статистического равновесия (VI.2.1)
/ = /о(е) = (еЬ^ + 0 (2.5)
где є—заданная функция k.
Так как вместо уравнения (2.1) мы имеем теперь (2.3), то кинетическое уравнение (1.8а), если на электрон действует электрическое и магнитное поле E и Н, будет иметь вид
<2.6,
где V определяется выражением (2.2). Член столкновений (3//3/)ст может быть выражен аналогично .тому, как это было сделано в предыдущем параграфе. Пусть W (k, k') — вероятность электрону за 1 сек перейти из состояния k в состояние k'\ тогда аналогично (1.7а)