Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если длина образца в направлении х равна Lx = 1 см, то при фиксированном рх энергия ес меняется от ес (0) до ес (Lx) = = ес(0)+eELx = Bc(O) + еЕ, поэтому интегрирование по ес дает множитель
bc (lx)
5 dsc = eE. (8.166)
ее (0)
Переходя посредством (8.16а) от переменной интегрирования Px к X и подставляя вместо A0 выражение (2.12а), получим из (8.16)
00
аЕ= R (Ъщ)1'2 л J Ai2 (х) dx, (8.17)
P
^ = ^1^(0)1-(1)'" (8.17а)
где
? = (8.176)
Множитель при R в (8.17) учитывает зависимость коэффициента аЕ от электрического поля (через (ofcnі E2/s).
2. Рассмотрим выражение (8.17) для аЕ в двух предельных случаях.
В первом случае ? > 0 (со < (o0) и ? 1. В этом случае в интеграле (8.17) существенны только большие положительные значения х, поэтому можно воспользоваться асимптотическим разложением
Ai (x) v^=tx-ut ехр (- 4 х^) (1 - 8 ^r + ...) . (8.18) При х^> 1 можно круглую скобку заменить единицей; подставляя
4) Джеффри с Г., Свирлс Б., с. 65, формула (20).450 ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. VII
тогда (8.18) в интеграл (8.17), интегрируя по частям, получим
OO
X-Ч* ехр (— 4 х3<2) dx =
S
оо •
_L ехр (_ I j . 1U + J ехр (_ 4 ) ^ dx
Интегрируя по частям интеграл в правой части, легко показать, что он в ~ ?8/2 раза меньше первого слагаемого; пренебрегая им, получим
= (-j?s/2) - (8.19)
Мы видим, что в этом случае в основном
((Oq-(Q)372"
аЕ со ехр
где Y =
4]/~2Ц?
-Y'
(8.19а)
Зе
-постоянная, не зависящая от частоты со и элект-
рического поля.
Во втором случае ? < 0 (со > сос) и | ? j 1. Асимптотические разложения функции Эйри при отрицательных, больших по абсолютной величине значениях х = — ? (?5г>1) имеют вид1)
У л
•1/4
Sinfl-+ -А
iCOS
k/2+f) (8.20)
Так как при ?<0 в интеграле (8.17) х пробегает как положительные, так и отрицательные значения, включая нуль,—непосредственное применение формул (8.18) и (8.20) невозможно.
Выведем соотношение, которое может быть использовано в этом случае. Функция Эйри удовлетворяет дифференциальному уравнению2)
-xAi(x). (8.21)
Умножая обе части уравнения на 2dAi (x)/dx = 2Ai', получим
[Лг"2]' = л;[Лг2]'. (8.22)
Интегрируя обе части этого равенства от 0 до ? = —? и беря интеграл справа по частям, получим -6
- J Ai2 (х) dx = IAi2 (- I) +[Ai' (-1)]2. (8.23)
1J Джеффри с Г., Свирлс Б., с. 65, формула (22).
2) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, 1973, формула (24, 3).$8]
ЭФФЕКТ ФРАНЦА - КЕЛДЫША
451
Полагая ? =— имеем для интеграла (8.17)
CD О OO -6
J Ai2 (х) dx = J Ai2 (х) dx+ \ Ai2(x)dx = — 1J Ai2 (х) dx + -6-6 0 о
® ю
+ 5 Ai2 (X) dx = IAi2 (— ?) + [ЛГ (— g)]2 + 5 Ai2 (х) dx. (8.24)
О о
При E^l воспользуемся асимптотическим разложением (8.20); тогда в наинизшем приближении получим
+ I61,. COS2 (1 Ез/2 + * ) = ± Е1/2 = 1 (_ ?)1/2 = 1 (^О) .
(8.25)
Подставляя это в (8.24), получим для (8.17)
aE = R
(Aco-E0)1/2 + (Acof)1/2 л J Ai2 (х) dx
(8.26)
При электрическом поле E—»-0 получим
«Я= О = R (Aeo-E0)1/2, что совпадает с (2.266).
3. Экспоненциальный вид коэффициента поглощения аЕ (8.19а) можно понять и из наглядных соображений.
При приложении к полупроводнику однородного электрического поля, много меньшего атомных полей кристалла, энергетические зоны электрона наклоняются так, как это показано на рис. VII.5, где по вертикальной оси отложена энергия электрона ё, а по горизонтальной — пространственная координата х. Электрон с постоянной энергией может двигаться в валентной зоне между точками А и В, отражаясь от краев зоны (мы отвлекаемся от того, что валентная зона заполнена электронами, подчиняющимися принципу Паули). Однако из-за того, что электрон обладает волновыми свойствами, он может посредством туннельного эффекта преодолеть запрещенную зону ВС и проникнуть в зону проводимости CD. Это явление называется внутренней эмиссией в поле или эффектом Зинера.
Вероятность туннелирования экспоненциально падает с увеличением зоны ВС, которая растет при увеличении ширины
e=const
Рис. VII. 5.452
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
запрещенной зоны eG и уменьшении электрического поля Е. Расчет показывает, что вероятность туннелирования
где с—постоянная, зависящая от эффективных масс тс и mv. Выражение (8.27) подобно (8.19а) для аЕ. Если со > со0, то рождающиеся электрон и дырка при движении отражаются от барьера, созданного электрическим полем. Интерференция отраженной и падающей волн приводит к возникновению осцилляций коэффициента поглощения.
Учет кулоновского взаимодействия электрона и дырки меняет количественный характер поглощения света, однако качественные черты явления сохраняются (И. А. Меркулов, В. И. Перель, 1973). Так, если со < со0, то экспоненциальный характер зависимости (8.19) сохраняется, однако изменяется коэффициент при ?3/2 в показателе экспоненты и появляется существенный дополнительный предэкспоненциальный множитель. Первое связано с изменением формы барьера при туннелировании, второе— с изменением вероятности найти электрон и дырку в данной точке из-за кулоновского взаимодействия.