Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
dt §§§ f(v, г, t)vxdvxdvydvz,
— со
если учитывать электроны, пересекающие площадку как слева направо, так и справа налево. Так как каждый электрон имеет заряд —е, то плотность тока в направлении х равна
+ OO
/* = ~'? S S S f Г> О dv* dvV dvZ- (1 -2)
— ®
Запишем неравновесную функцию распределения в виде ___ f{v,r,t) = f0(S) + fl{v,r,t). (1.3)
Такие электроны мы будем называть »-электронами. 456
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[ГЛ. VIII
Так как /0(<^)—четная функция Vx (зависит от vi), то интеграл (1.2) по dvx от f0 (S) vx равен нулю и (1.2) дает
Іх = —е Hifi г, t) vx dvx dvy dvz.
(1.2a)
Основной задачей теории кинетических явлений является определение неравновесной функции распределения f(v,r, t).
2. Выведем уравнение, которому удовлетворяет функция /(©, г, t). Рассмотрим изменение числа ©-электронов за время dt
в результате их движения в обычном (геометрическом) пространстве. Нарис. VIII.2 представлен элемент объема d3r=dxdydz. Рассмотрим изменение числа ©-электронов внутри этого объема за счет прихода электронов сквозь левую грань dy dz и ухода электронов сквозь правую грань dydz (мы предполагаем, X что vx > 0). Число ©-электронов, Рис. VIII. 2. входящих за время dt через ле-
вую грань, равно /(©, х, у, z, t) х d3vdydzvxdt, число ©-электронов, уходящих за время dt через правую грань, равно f(v,x + dx,y,z,t)d3vdydzvxdt. Увеличение числа ©-электронов в объеме d3r за счет этого процесса равно
/(©, х, у, г, t) d3v dy dzvx dt — /(©, x-j-dx, у, z, t) d3v dy dzvx dt = = — vx{f(v, x + dx, y, z, t) / (©, X, y, z, t)} dy dz d3v dt =
= — Vx-^dxdy dz d3v dt.
Увеличение числа ©-электронов в объеме d3r за счет движения электронов сквозь все 6 граней объема d3r, равно
— V
Ё1 дх
df , + V«W + V¦
OL
dz
d3v d3r dt = — (©Vr/) d3v d3r dt = = — V^d3V d3r dt.
(1-4)
Аналогично можно рассмотреть изменение числа ©-электронов в объеме d3v = dvxdvydvz в результате их «движения» в ©-пространстве со «скоростями» vx, Vy и vz. Увеличение числа ©-электронов при движении в ©-пространстве равно
— (Vyvf) d3v d3r dt = —© d*v d3r dt = —(FVvf) d3v d3r dt,
(1.4a)
* dv 1
так как ускорение = t), где F(r, t)—сила, дейст-
вующая на электрон в точке г в момент t. §1]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
457
Кроме того, число ©-электронов изменяется в результате столкновений электронов с колебаниями решетки (фононами) и дефектами кристалла. Каждое столкновение v-электрона уводит его из объема d3v, так как при столкновении резко меняется его скорость. В дальнейшем мы будем рассматривать упругие столкновения, при которых меняется только направление скорости, но не ее абсолютная величина; так что если после столкновения скорость равна ©', то v'=v.
Пусть W (©, ©') d3v' dt — вероятность электрону со скоростью © за время dt упруго рассеяться и превратиться в ©'-электрон. В принципе вероятность W (©, ©') может зависеть от г и
Полное число ©-электронов, исчезающих за время dt в результате столкновений, равно
— J [/ (©, г, t) d3v d3rW (©, ©') dt] d3v',
v'
где интегрирование ведется по всем значениям скорости ©'.
С другой стороны, число ©-электронов будет возрастать ввиду превращения всевозможных ©'-электронов в ©-электроны в результате столкновений (в том же объеме d3r). Это возрастание числа ©-электронов за время dt равно
J [/ (©', г, t) d3rW (©', ©) d3v dtJ d3v',
v'
где интегрирование ведется по всем значениям скорости ©'.
В итоге возрастание числа ©-электронов за время dt из-за столкновений равно
d3vd3rdt J [/(©', г, t) t*7(©', ©)—/(©, г, t)W(v, v')]d3v'. (1.46)
it'
С другой стороны, возрастание числа ©-электронов за время dt равно
/(©, г, t+dt)d3vd3r —/(©, г, t) d3vd3r = d3vd3r dt. (1.5) Приравнивая (1.5) сумме (1.4), (1.4a) и (1.46), получим
+ J {/ (©', r, t) W (©', ©)-/(©, r, t) W (©, ©')} d3v'. (1.6)
Это уравнение называется кинетическим уравнением Больцмана. Так называемый полевой член
определяет скорость изменения функции распределения / в результате непрерывного движения электронов в г и ©-простран- 458 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
стве, а член столкновений
(5")ст = J {V'' Г' t] W {V'' V)~f {V' Г' t} W {V' d3V' (1 Ja)
определяет скорость изменения / в результате столкновения (рассеяния) электронов. В стационарном случае
или
W=J {/ (*', г) W (*', v)-f (v, г) W (V, V')} dV. (1.8а)
Так как в правой части (1.8а) стоит интеграл от неизвестной функции /(©')> то кинетическое уравнение Больцмана — интег-р од и ффе ре її ци а л ь н ое уравнение. Конечно, для его решения необходимо знать силу F и вероятность перехода W (v, v'). 3. В равновесном случае функция распределения f = f0(S) =
= ехр j-^—, где полная энергия $ = е + Ч1, т. е. равна сумме
кинетической энергии E = mv2/2 и потенциальной энергии H (г). В этом случае левая часть уравнения (1.8а) равна нулю. В самом деле,
VVrfo (є +Щ = Jr /.« (- VЛ) = Jr /о (VF)
и
Таким образом,
(I1)ct = J {/о (Л W («', ®)-/о (S) W в')} =
