Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим движение электрона или дырки с произвольным законом дисперсии є (ft) в однородном магнитном поле Н. Квазиклассические уравнения движения имеют вид
=?[«//], (6.21) V = J Vfte (ft), (6.21а)
где теперь е—алгебраическая величина заряда и Vft = grad*. Если H направлено по оси г, то
и, следовательно,
kz = const. (6.22)
С другой стороны, из (6.21) и (6.21а)
dt тв dt откуда
е (ft) =Const. (6.23) 378 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
Таким образом, движение заряда в ft-пространстве происходит по кривой, определяемой пересечением поверхности постоянной энергии (6.23) с плоскостью (6.22).
Спроектируем обе части уравнения (6.21) в ^-пространстве на плоскость kz = const:
= (6.24)
где dl— элемент «траектории», по которой происходит движение в ft-пространстве, а
V1=VrtTVy (6.24а)
— проекция скорости на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю (т. е. к оси г).
Если «траектория» в ft-простраистве замкнута, то период обращения заряда
Tc=^dt = (6.25)
если подставить dt из (6.24).
С другой стороны, площадь сечения, ограниченная замкнутой траекторией,
S=5Jdfe,dfe„. (6.26)
Перейдем в двойном интеграле от дифференциалов dkxdky к dl и dkj_; — элемент нормали к dl в плоскости kz = const. Из
общей формулы (6.21а) имеем
^=?' (6'27)
откуда
dk± = ~—. (6.27а)
Ji v±_
Таким образом,
S = = (6.28)
или
(6-28*)
Подставляя это в соотношение (6.25), получим:
Te=WK- (6'29)
Так как циклотронная частота юс = 2п/Тс, то циклотронная эффективная масса (6.19) равна
m;=|f. (6.30) $6]
ЦИКЛОТРОННЫЙ (ДИАМАГНИТНЫЙ) РЕЗОНАНС 379
Измеряя т*с при различных ориентациях магнитного поля относительно кристалла, можно в принципе восстановить форму поверхности є (Ar) = const. Если закон дисперсии є (Ar) задан в аналитической форме, но содержит ряд неизвестных параметров, как, например, в случаях (6.12) или (IV. 15.4), то выражение (6.30) может быть использовано для экспериментального определения этих параметров. Для примера рассмотрим простой случай, когда поверхность постоянной энергии—сфера, так что
є = й2/г2/2т*, (6.31)
где т*—скалярная эффективная масса. В этом случае
5 = я/г1 = я(/г2—k2z) = n^~—k2^. (6.31а)
Подставляя в (6.30), получим
m* = m*, (6.32)
что соответствует (6.1а). Также просто из (6.30) получить выражение (6.20). В случае сложной энергетической поверхности е (Ar) = Const (не сферы и не эллипсоида), производная dS/de зависит, вообще говоря, от kz, так что т*с (kz). Так как в кристалле имеются электроны с разными kz, то максимуму кривой циклотронного поглощения соответствует т*с (kz), где kzxkxx ky по порядку величины определяются из условия є да k0T.
5. При достаточно низких температурах, удовлетворяющих неравенству (5.33), будут возбуждены магнитные осцилляторы только с малыми квантовыми числами N, поэтому квазиклассическое описание движения- частицы (6.21) не может быть правильным. Полагая, как выше, ?0,,= 1,5-1011 рад/сек и учитывая, что 2ц*# = получим для (5.33)
Г<ГК. (6.33)
Таким образом, при гелиевых температурах, при которых обычно ведутся опыты над циклотронным резонансом, мы находимся вблизи границы применимости квазиклассической теории.
С квантовой точки зрения циклотронный резонанс надо рассматривать как переходы электрона (дырки) с одной квантовой орбиты на другую под действием высокочастотного поля. Легко показать, что при этом возможны только переходы с изменением квантового числа магнитного осциллятора AiV = ±1. С этой точки зрения явление естественно назвать диамагнитным резонансом.
В квантовой теории частота циклотронного резонанса о^™' определяется разностью энергий соседних термов <?(N-(-1) — — S (N) да В том случае, когда поверхности постоянной
энергии—сферы, из (5.19) следует, что©<кв) = 2\і*Ні% = еНіт*с = 380 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
= (ос, т. е. не зависит от квантового числа N и совпадает с классической циклотронной частотой, определяемой из формулы (6.29). Точно так же обе эти частоты совпадают, когда поверхности постоянной энергии — эллипсоиды. Таким образом, в этих частных случаях формула (6.29) справедлива при любых сколь угодно низких температурах.
При более сложных энергетических поверхностях, например в р-Ge, разность <?(Af + l)—S(N) зависит от номера уровня N, при этом со<кв> совпадает с сое, определяемой по формуле (6.29), только при больших значениях квантовых чисел N.
Квантовая теория диамагнитного (циклотронного) резонанса рассмотрена в работе Латтинжера 1J.
§ 7. Контакт полупроводника с металлом. Выпрямление
І. Рассмотрим примесный полупроводник электронного типа с энергией диссоциации доноров eD<^.k0T, когда они практически все ионизованы. Если полупроводник приведен в контакт с металлом, то в результате перераспределения свободных электронов полупроводника в приконтактном слое потенциала) его поверхности станет равным потенциалу поверхности металла. Так как полупроводник и металл свободно обмениваются электронами и находятся в состоянии статистического равновесия, то уровни химического потенциала в них совпадают. Известно, что работа выхода электрона из металла или полупроводника определяется как разность между потенциальной энергией электронов в вакууме и их химическим потенциалом внутри тела. Если работа выхода из металла w„ больше работы выхода из полупроводника w„, то потенциал в приконтактном слое полупроводника возрастает и энергетические зоны будут искривлены так, как это показано на рис. VI.5. При этом потенциал на поверхности полупроводника (металла) будет равен V0 = Wm — — Wn > 0, если потенциальную энергию свободных электронов в глубине полупроводника положить равной нулю, т. е. отсчитывать все энергии от нижнего края зоны проводимости полупроводника. В рассматриваемом случае концентрация свободных электронов в объеме полупроводника будет выше, чем в при-контактной области, которую мы в этом случае будем называть запорным слоем. Если wM < w„, то потенциал V0 < 0, т. е. ниже нижнего края зоны проводимости в полупроводнике, так что энергетические зоны вблизи поверхности полупроводника искривлены противоположно тому, как показано на рис. VI.5. Кон-
