Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
P и с. 6.5. Бифуркационная линия удвоения периода шт>слов для сисгемы Рёсслера (6.29) не плоскости параметров е. it шм к * 0,2
1(6 пликаторов с валовых циклов
линии / на рис. 6.5). Расчеты для е = 0.2, р =2,9 дают устойчивый цикл периода 2TV Задав начальные условия на теперь уже седловом цикле периода T0 (выше точки бифуркации р = - 1), проинтегрируем систему (6.29) и найдем неустойчивый цикл периода T10 для р = 2,9 Результаты вычислений представлены в верхней части рис. 6.5 в виде проекций соответствующих фазовых траекторий на плоскость х. у.
Известно, что в системе (6.29) при движении вверх по ц для е = Ъ =0,2 наблюдается последовательность удєосний Фейгенбпума. сходящаяся к критической точке р• » 4,2. Эту точку можно было бы найти, вычислис последовательность рк точек бифуркации р - — 1 циклов периода 2 kT0 іля А: — 1, 2, 3, . . . Можно предложить другой способ, базирующийся на универсальном значении мультипликаторов неустойчивых циклов в критической точке р» = - 1,601. . На рнс. 6.6 даны результаты расчета зависимостей р(ц) для циклов периода 2Т0 (кривая /), 4T0 (кривая 2) и STa (кривая 3) Вніута тенденция к сходимости всех линий графика к точке рщ A 4,2, р» = - IjS. Таким образом, с практически достаточной точностью критическая точка р• - 4,2 найдена. Если есть уверенность в бесконечной цепочке удвоений, то можно построить бифуркационную линию критических значений на плоскості: параметров є, р, определив ее как линию P = - 1,6 для циклов периода 4Т0 или 8Г0.
Здесь речь uuia о построении алгоритмов численного анализа периодических решений системы дифференциальных .'равнепаи (6.1). Но в качестве мето,да выбран способ анализа устойчивости неподвижных точек отображения Пуанкаре Следовательно, все вышеописанные алгоритмы, исключая процедуру численного построения отображения Пуанкаре на секущей, непосредственно могут быть применены для анализа неподвижных точек дискретных отображений при задании операторов отображения в явном виде.
Для примерз рассмотрим двумерное двупараметрическое модельное отображение в виде двух связанных отображений Фейгснбаума, моделирующее при некоторых условиях систему двух взаимодействующих гелидей-
117 ных осцилляторов со стохастическим поведением BlR6: je,,+J » 1 - axl + у(уп - х„), yn+i* 1 -ayl + у(хп -уп).
(6.30)
где аЄ[-2,2], y€[0, 1] — параметры системы.
Для циклов периода 1 система (630) допускает аналитическое решение. Его можно использовать для отладки программы, реализующей алгоритмы на ЭВМ. Неподвижные точки отображения (630) могут быть двух типов: симметричные (СМ; неустойчивая CM-I точка не рассматривается)
хлу- l(4a+ I)1'2 — 1]/2а, (631)
и асимметричные (ACM)
*»,2 *Уі,г * 0,5 {- Ь(2у + 1) ± Ь1'2 (Ь - Aby1 +4)^1,
(632)
а-1. Мультипликаторы этих неподвижных точек соответственно
где Ь ¦¦ равны
р(СМ) = 1-(1+40)1", P2(CM) ж ,_(1+ 4в)«/г_ 2у, (633)
P $см> = (1 + у) ±(4а - Зу3 + I)1'2. (6.34)
Рассмотрим бифуркации CM-I точки при увеличении параметра а и фиксированном 7^0. Линия на плоскости параметров в и у а « - 0,25 отвечает бифуркации рождения CM-I точки (р|см* = + 1). С ростом параметра а мультипликаторы CM-I точки убывают, и при выполнении условия
в = 0,25(47* — 87 + 3) (6.35)
мультипликатор р Jcm) « - 1. а | pfCM* | < 1. Линия на плоскости, на которой выполнено условие (635), — бифуркационная линия рождения
АСМ-2 точки (асимметричной неподвижной точки периода 2). Неподвижная АСМ-2 точка является устойчивым узлом, так как оба ее мультипликатора действительны и по модулю меньше единицы. С увеличением а устойчивый узел превращается в устойчивый фокус, и далее реализуется бифуркация Андронова - Хопфа для отображений: комплексно-сопряженная пара мультипликаторов выходит на единичный круг. Мягко рождается инвариантная замкнутая кривая в отображении на 0,61- " плоскости Xnt ун.
Рис. 6.7. Бифуркационная диаграмма системы (6.30) » области резонансе» Ф ¦ 2/5 н 1/8
09
Q8
0.7
425
W
033 у
IIS Линия I0. на которой р (^cм) 3 еХр(± j . 2я0),отвечает этой бифуркации и нанесена на диаграмме 'рис. 6.7. Вдоль этой линии число вращения ф непрерывно меняется, принимая рациональные значения в дискретном ряде точек, отвечающих бифуркациям коразмерности 2. В этих точках рождаются циклы соответствующих периодов, лежащие їй инвариантных окружностях. Области существования этих циклов ограничены линиями обращения их мультипликатора в +1 и имеют вид клювов синхронизации с постоянным значением числа вращения.
Представляется интересным исследовать бифуркации синхронных периодических точек внутри областей их существования. На диаграмме уис. 6.7 нанесены бифуркационные линии р ¦ + 1 (Zi)lP * ехр(/ • 2пф) (l0,10) и р = = - I(Z2) внутри областей синхронизации с Ф - 2/5 и ф = 1/8 (соответственно ACM-IO и ACM-16 периодические точки отображения). Как видно из рис. 6.7, неподвижные точки внутри зон синхронизации вновь претерпевают бифуркацию Андронова - Хопфа, порождая новую систему инвариантных замкнутых кривых.
6 А. Численный анализ статистических свойств аттракторов
