Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 55

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 132 >> Следующая


А„>2Х,+. (6.44)

і

Спектр ЛХП строго определяет размерность любого типа регулярных аттракторов, а для странных определяет ляпуновскую размерность Dli [70] и в общем случае позволяет произвести оценку фрактальной (метрической) размерности. Chi натура спектра ЛХП может быть ключом к выяснению топологической структуры аттракторов и их бифуркаций при изменении параметров.

Строго математически доказано существование и конечность ляпуновскнх характеристических показателей любой интегральной кривой системы уравнений (6.1). ЛХП отражают среднюю скорость экспоненциального растяжения (сжатия) проекций малого возмущения на собственные направления выбранного базиса [33,36, 60,61,159].

Однако само по себе строгое определение не может быть принято в качестве алгоритма для расчета спектра ЛХП, который требует использования понятия обобщенных к-мерных показателей и применения процедуры ортогонализации Грама - Шмидта [159,160].

Введем понятие Jfc-мерного ляпуновского показателя динамической системы (6.1):

, I Yx Yx' е%\... Yx е\ I

Xi - Iim Г1 In-1—-—--г—--. (6.45)

Здесь { ef} - ортонормированный базис Jt-мериого подпространства исходного пространства IBjv системы (6.1) с началом в точке X0, Л - внешнее произведение векторов, 10 1- евклидова норма, Yx - фундаментальная матрица решений линеаризованной системы (6.1). *

Вектор= Yx,ef представляет собой решение линейной задачи

Ух, =А(х)уХв. ух<>(0) = ef (6.46)

в момент времени t, А (х) - матрица Якоби системы (6.1). Так как значение внешнего произведения k N-мерных векторов строго равно объему ^-мерного параллелепипеда, построенного в jV-мерном пространстве на этих векторах как на ребрах, то (т.е. Jt-мериый ляпуновский показатель) представляет собой скорость изменения объема этого параллелепипеда вдоль траектории, исходящей из начальной точки х0. Значения х? не зависят от выбора базиса { ef ) и способа определения нормы, а определяются только размерностью подпространства к и начальными данными *о- Существование и конечность предела (6.45) строго доказаны [159].

124 Отметим два важных свойства Аг-мерных показателей: а) Х?о может принимать самое большее С% различных значений; б) при произвольном выборе ортонормированпого базиса {ej } Аг-мерные показатели с вероятностью, близкой к единице, стремятся к максимальному значению из всех С% возможных допустимых.

В свете вышесказанного спектр ЛХП определяют одномерные показатели, расположенные в порядке их убывания:

Из определения и свойства б) Ar-мерного показателя (6.45) видно, что при Jfc * 1 можно найти только один максимальный одномерный показатель Хі# в Х*#>1, при Jfc = 2 - максимальный двумерный показатель Xoto = = XJ, і + Xx, ! и т.д. Следовательно, все одномерные показатели, т.е. спектр ЛХП, можно определить, вычислив все максимальные Аг-мерные показатели, по рекуррентной формуле

Ч,. =^., ^,., = Xit-Xi"1, /=2,3.....N, (6.47)

Итак, задача нахождения спектра ЛХП сводится к вычислению максимальных Аг-мерных показателей для Jfc » 1, 2, . . . , N. Но, как оказалось, вычислять их, принимая определения (645) в качестве алгоритма, практически невозможно, так как в общем случае вдоль "хаотической" траектории длина части векторов быстро возрастает и углы между ними за конечное время становятся слишком малыми, чтобы можно было уверенно вычислить объем соответствующего параллелепипеда. Это является следствием того, что решения линеаризованной системы (646) изменяются по экспоненциальному закону. Указанную чисто вычислительную трудность можно обойти, прибегнув к следующей процедуре. Через некоторое фиксированное время г полученные из исходного базиса векторы {уі) заменяются новой ортонормированиой системой векторов { II, ) , построенной с помощью хорошо известной процедуры ортогонализации Грама -Шмидта [161] (/=1,2.....N)

»1 =Уі. «і =»i/l»i I,

і

Ў/+і -Л+1 - 2 (ukyt+l)uk, (6.48)

к з 1

«/+1 =V/+l/IV/+l I-

Применение указанной процедуры изменения базиса основано на следующем свойстве внешнего произведения: если два разных базиса (et} и (ч) порождают одно и то же Jfc-мерное подпространство, то справедливо соотношение к

I A Let I

/= і

I А (,1

і = і

12S

I Л Lu,l

-, LSIRkXiBk. (6.49)

I Л 11,1 Пусть X0 - jr(О), х„ = х(пт). Тоща в силу ценного свойства фундаментальных матриц можно записать

УT0 = УТх\" " 0 " Т = YTx\n-"YTxt. (630)

Обозначим через { е" } новый базис, полученный из системы векторов { Ухп_ ie!'~ 1) с помощью процедуры (6.48), и преобразуем выражение под знаком логарифма в формуле (6.45):

I Л г?е4 I I Л yjy.-»(rr ?) „ , * yr O1

/=I /»і /=I

I Л <?l I Л Yl ej I I Л ej I

i=i /=I0 /=і

1 л I I Л YtX J a , I A YrXfl I

/=I1 /= I " 1 /= I '

. . = п

к к J= о *

I Л е} I I Л ef I Il Л ei I

/=I /=I /«I

(651)

Для ортонормированного базиса { е{} справедливо

I Л « 1, (652)

/= і

поэтому знаменатели в (6.51) равны 1 для всех /' = 0, 1,..., и- 1 (исходный базис {ef ) ортонормирован).

Подставив в определение (6.45) соотношение (6.51) с учетом (6.52), получим окончательное выражение
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed