Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ными условиями (в) ¦ разной поірешностью интегрирования е (б)
121 Для примера рассмотрим результаты интегрирования методом Рунгс -Кутта 4-го порядка системы уравнений [13]
при значениях параметров т = 1,45, g * 0,21, соответствующих режиму странного аттрактора.
На рис. 6.8 представлены данные расчетов реализации х(г) с разными начальными условиями при фиксированной погрешности счета е (рис. 6Sa) и дня фиксированных начальных данных, но с разной погрешностью интегрирования е (рис. 6.86). Все четыре реализации заметно отличаются друг от друга, однако интуитивно угадывается некое сходство в характере временных процессов. Это сходство объясняется принадлежностью всех траекторий одному странному аттрактору, что подтверждается статистической обработкой на ЭВМ всех четырех реализаций. Они характеризуются одинаковыми стационарными статистическими характеристиками. В частности, положительный показатель спектра JlXfl во всех случаях равен X1 « 63 * Ю"2.
Вычисление таких статистических средних, как автокорреляция, энтропия, спектр ЛХП, размерность Dl , и других характеристик аттрактора, показывает, что они не зависят от факторов, влияющих на расчет конкретных реализации. Это обстоятельство должно быть использовано в экспериментах в качестве критерия правильности выбора шага счета по времени и точности интегрирования. Обычно используют метод Рунге - Кутта 4-го порядка, погрешность задают Ю-4 - IO"8, шаг счета определяется конкретной системой и должен быть выбран в сравнении с наименьшим из ее характерных времен.
Наглядную информацию о механизмах перехода и свойствах динамической стохастичности дает расчет спектра мощности реализации процесса Xf(г) в соответствующих режимах при вариации параметров. Расчеты спектров мощности важны также и потому, что в физических экспериментах измерение спектра, как правило, типичная, а часто и единственная информация, по которой оцениваеіся переход к хаосу в многомерных и распределенных системах.
Фурье-спектр, точнее спектральная плотность мощности, может быть вычислен на ЭВМ непосредственно ію соотношениям теоремы Винера - Хин-чина через автокорреляционную функцию. Однако это не совсем удобно, так как трудно указать заранее временной интервал определения корреляционной функции, обеспечивающий необходимую точность при расчете спектра. Поэтому обычно спектры мощности вычисляются непосредственной обработкой данных реализации с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Для уменьшения погрешности счета, вызванной конечностью реализации xt(r). 0 < г < г0, можно применить методы введения специальных окон, однако для качественного анализа распределения интенсивности колебаний по частотам можно ограничиться использованием прямоугольных окон, но обрабатывать при этом относительно длинные реализации [156, 157].
X = тх +у - хг. у'-х.
i=-gz+gl(x) X2.
(6.43)
122 Рис. 6.9. Влияние числа усредняемых периодограмм на результаты расчета спектра мощности реализации х (г)
Более важным является необходимость усреднения результатов расчета спектров по совокупности начальных данных из области притяжения странного аттрактора. Эта процедура адекватна расчету спектра по некоторому наперед заданному числу различных периодограмм одинаковой длительности с последующим усреднением результатов. Существуют стандартные программы, реализующие указанный алгоритм, например, на машинах серии ЕС [158].
В качестве примера рассмотрим результаты расчета спектра мощности системы (6.43) для значений параметров т = 1,45,; = 0,21 и начальных условий * (0) = 3,5, у (0) = 0, г (0) = 1, принадлежащих области притяжения странного аттрактора [12-14]. Спектр рассчитывался для реализации x (т) при шаге счета Ar = 03 путем усреднения л периодограмм с массивами 4096 точек. На рис. 6.9 даны спектры мощности, полученные усреднением по п = 1, 8, 16 и 48 периодограммам. Как видно из рис. 6.9, спектры для л & 16 и 48 практически неразличимы, но не совпадают со случаем и» 1.
В экспериментах по изучению сложных бифуркационных переходов к хаосу,обусловленных разрушением квазилериодических режимов, спектры мощности реализаций хДг) могут сильно усложняться, затрудняя диагностику характера их перестройки при переходе. В этом случае прибегают к построению спектров, используя в качестве исходной реализации точки пересечения траектории xf с заданной секущей S, т.е. расчет спектра проводится для отображения Пуанкаре системы. В физической трактовке эта процедура может соответствовать детектированию исходного колебания и анализу спектра огибающей процесса XiU). Машинное время, необходимое для набора массива данных по отображению, при этом, естественно, возрастает.
23 6.S. Алгоритмы вычисления спектра ляпуновскнх характеристических показателей
Знание полного спектра ляпуновскнх характеристических показателей (ЛХП) аттрактора как предельного множества в фазовом пространстве системы позволяет сделать ряд важных выводов о его свойствах. Так, например, наличие положительных показателей в спектре служит строгим критерием "странности" аттрактора, а их сумма в спектре ЛХП связана с метрической энтропией системы неравенством
