Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
X* = Iim (ит)"1 "s' In I Л YLell I. (633)
0 п- - j * О /=I
Так как внешние произведения можно вычислить прямо по определению без особых технических сложностей, то (6.53) представляет собой непосредственный алгоритм расчета ^-мерных показателей, а следовательно, и полного спектра JIXП. Для вычисления N Аг-мерных показателей, как видно из (6.53), практически нужно решать систему из N(N + 1) дифференциальных уравнений. Первые N уравнений — это исходная нелинейная система (6.1) с начальными условиями X4 ¦ *(0). Ее решение необходимо для получения матрицы Якоби, определяющей систему уравнений линейного приближения. Оставшиеся N2 уравнений появляются в связи с необходимостью N раз решать линейные уравнения (6.46) с N различными начальными условиями, меняющимися через интеовал
времени т: yx„t(if) - *t>»" * 1. 2.....NJ = 1,2.....N. При/ = 0 -
исходный базис, а при / = 1, 2,..., N это базис, полученный в результате процедуры (6.48).
Полностью аналогично строится алгоритм расчета спектра ЛХП применительно к yV-мерным отображениям:
*» ¦ і - Р(х„). (634)
126 > Oc значив матрицу Яко би отображения через Mx ,т.е.
IdPJbxl ...дРі/ЬхуІ IiPxIZxl . . . dP„!dxs\ '
Mx = . (6.55)
0 La^v/.v,...a^v/ar.vJ
: ,сдобно (6.45) определим Jt-мерный ляпуновский показатель дня отображения:
Xkxt = Iun „-• 1„(| A Mnx^ a; I А еЧ I). (6.56)
• „ - <. /=I 0 / = 1
Чтобы избежать прерываний переполнения и исчезновения порядка, как и в случае потока, применим процедуру ортогонализации Грама -IilNmATa (6-48) на каждом шаге итерации отображения. Преобразовав выражение (6.56) так же, как и для потока, получим формулу, позволяющую практически считать спектр JlXil:
Xkx = Um /Г1 "і: ' in I A Mx л/ I. (6.57)
• - /-O / » 1 '
Из (6.45) и (6.57) видно, что А;-мерные показатели являются пределами некоторой бесконечной последовательности, поэтому процесс вычисления необходимо оборвать при достижении заданного уровня точности в сходимости показателей к предельным значениям.
Если нет нужды вычислять все Л' одномерных показателей спектра, можно ограничиться числом / < N наибольших показателей. Алгоритм это позволяет и требует интегрирования Л'(/ + 1) уравнений, что существенно экономит машинное время.
В простейшем случае / = 1 вычисляется один наибольший показатель спектра ЛХП. Процедуре ортогонализации при этом соответствует перенормировка длины единственного вектора на единицу с сохранением ориентации.
6.6. Метод численного построения особых решений
системы дифференциальных уравнений типа сепаратрис и сепаратрисных контуров
Ряд практических задач, связанных с выяснением механизмов развития динамического хаоса, приводит к необходимости анализа гомоклинических и гетероклинических траекторий и бифуркаций решений в их локальной окрестности. Некоторые общие выводы о движении в окрестности таких траекторий можно сделать на основании линейного анализа в окрестности особых точек [16-21. 40-46), однако нахождение особых траекторий и исследование глобальных свойств решений в их окрестности доступно лишь с применением ЭВМ.
Вновь обратимся к исходной системе N нелинейных дифференциальных уравнений (6.1). Пусть *0 - это особая точка системы, т.е. F(Jr0) = = 0. Собственные числа { s,, Sj,..., $Л} точки дг0 можно разделить на две группы в зависимости от знака их действительной части. Известно, что если для т собственных чисел выполняется условие Re і, > 0. а для
127 остальных Л' - т чисел Resj- < 0, го в точке д-0 существует w-мерное неустойчивое инвариантное многообразие, образованное траекториями, выходящими из особой точки, и (Л - ш)-мерное устойчивое инвариантное многообразие, образованное траекториями, входящими Bjt0.
Случай Resl- = 0 является бифуркационным, так как при зтом происходит резкая перестройка инвариантных многообразий. Если у системы (6.1) существует несколько положений равновесия, то каждое из них имеет устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия соответствующих размерностей. Взаиморасположение всех этих многообразий (или, другими словами, сепаратрисных поверхностей) в фазовом пространстве задает структуру его разбиения на области с различными режимами.
Наиболее изученным и интересным для нас является случай т = 1, т.е. когда в точке х0 имеется единственное положительное собственное число, которому соответствует одномерная неустойчивая сепаратриса, а остальные собственные числа порождают (N - 1)-мерное устойчивое инвариантное многообразие. В такой ситуации, если система зависит еще и от параметров, при некоторых фиксированных их значениях неустойчивая сепаратриса может образовать петлю, т.е., выйдя из точки Jr0, вернуться в нес же, касаясь устойчивого многообразия. Это интересно тем, что с петлей связан один из механизмов исчезновения (или рождения) циклов [162, 47]. Кроме того, при некоторых дополнительных условиях в окрестности петли наблюдаются сложные явления, такие как рождение бесконечного множества кратных циклов и многообходных петель, что может привести к возникновению стохастичности [S3].
