Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
130 аизю'ой точки (рис. 6.126). В случае трехмерного фазового пространства эти многообразия одномерны и пересекаются в точках, называемых ГО MO KJl и ни чески ми.
Поскольку зада<іа построения гомо- и гетероклинических траекторий системы (6.1) сводится к нахождению гомо- и 1 етероклинических точек отображения Пуанкаре, перейдем к рассмотрению дискретного отображения
*,. . і = Пхп, Ph (6-58)
где .т„ = (л-,1,, де,2,......г,)). Пусть X0 - неподвижная точка отображения
(638), а р,, рг, •.., p.v - ее мультипликаторы. Пусть один из них, например Pi, лежит вне единичного круга, а все остальные - внутри. Тогда мультипликатору P1 соответствует одномерная неустойчивая инвариантная кривая, которую можно построить следующим образом. Найдем собственный вектор, соответствующий Pi, и отложим из точки X0 в направлении этого вектора отрезок очень малой длины. На этом отрезке зададим к точек, лежащих на равных расстояниях друг от друга, и, выбирая их поочередно в качестве начальных, произведем из каждой точки некоторое достаточно большое число итераций отображения (638). В результате получим кривую в фазовом пространстве. Конечно, таким образом мы не получим информации о ее пересечениях с другими инвариантными многообразиями, но зато сможем судить о степени ее гладкости, что тоже представляет немалый интерес.
Если неподвижная точка х0 имеет единственный мультипликатор внутри единичного круга, а остальные - снаружи, то одномерной является
сепаратрисы в отображении (б)
устойчивая сепаратриса. Ее можно построить, если отображение (6-58) обратимо. Тогда запишем
х„ = Р'1(хп + і. P)- (639)
Точка X0 останется неподвижной точкой отображения (639), но будет теперь иметь один мультипликатор вне единичного круга, а остальные -внутри. Неустойчивая одномерная сепаратриса отображения (639) будет совпадать с устойчивой сепаратрисой отображения (638).
Задача численною нахождения гомо- и гетероклинических точек практически разрешима только для двумерных обратимых отображений. По-
9
131 строив для такого отображения устойчивые и неустойчивые сепаратрисы одной или нескольких неподвижных точек, можно найти и точки их пересечения. При этом возникает проблема: как по результатам численного счета математически строго обосновать существование грансоерсального пересечения сепаратрис? Для ее решения можно использовать предложенный в 1163] ал го [ж тм, посредством которого вокруг сепаратрис строятся некоторые доверительные окрестности, и трансверсальное пересечение сепаратрис при определенных условиях оказывается следствием транс-версального пересечения построенных окрестностей.
6.7. Алгоритмы расчета размерности аттракторов
Вычисление размерности аттракторов — одно из важных направлений исследований в области динамического хаоса. Расчет размерности полезен при анализе распределенных систем методами конечномерных аппроксимаций, так как дает возможность указать верхнюю границу размерности фазового пространства модельной системы [71, 99-103]. С размерностью аттрактора связана также проблема приближенного описания динамики системы с помощью дискретных отображений.
Наиболее часто вычисляют фрактальную (4.19) или информационную (4.21) размерности:
In M (є) К 6)
Df = Iim -, Dt = Iim
о 1п(1/б) е - о 1п(1/е)
Простейшим, хотя и не всегда оптимальным, способом вычисления Df и Dj является непосредственное покрытие имеющегося множества точек аттрактора jV-мерными кубиками со стороной є (N — размерность фазового пространства). Из определения (4.19) при конечности є следует:
InAf(C) = DFh\(\/e) + InA', А' - const, (6.60)
и величина Df определяется по наклону графика зависимости M(є) от 1 /е в двойном логарифмическом масштабе.
При вычислении информационной размерности вероятности P1, определяющие энтропию Шеннона в (4.21), аппроксимируются отношениями л{/л0, где Wі - число фазовых точек, находящихся в 1-м кубике со стороной б, а п0 - суммарное число точек аттрактора.
Метод прямого покрытия оказывается работоспособным только для маломерных аттракторов (N < 3) и при относительно небольшой степени сжатия фазового объема в окрестности аттрактора, т.е. при больших значениях дробной част размерности. В противном случае (N > Ъ, d < 1) требуется очень большой объем данных, малые значения є и огромное число покрывающих ячеек M(е).
Более эффективный алгоритм вычисления фрактальной размерности основан на соотношении [164]
Df = N - Iim [In К(с)/1п(1/е)], (6.61)
е — о
где У(е) — объем множества, состоящего из всех точек, находящихся в є-окрестности аттрактора.
132 Для вычисления информационной размерности Dj можно использовать эффективные алгоритмы, реализующие методы ближайшего соседа 1165], методы отслеживания проекции [166], а также специальные методы, описанные в [167].
Важным представителем класса вероятностных размерностей является корреляционная размерность Dc [66, 67, 168, 169]. определяемая соотношением
Ще)
Dc - Iiin [In( S />?)/1пе], (6.62)
t - О I=I
где Р] - вероятность того, что пара точек аттрактора принадлежит 1-му элементу покрытия. Отметим, что корреляционная размерность Dc представляет частный случай так называемой обобщенной размерности, использующей вместо энтропии Шеннона в (4.21) энтропию Реньи порядка </ [170]:
