Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
п0 = c(ti - и")-", с - 1,196. ? = 0,484. (5.61)
Увеличение времени корреляции, характеризующее среднее время жизни состояния (длительность "ламинарной" фазы), ведет к соответствующим изменениям в характере огибающей спектра мощности Sx(f). На рис. 5.10 (кривая 2) показана зависимость Sx </), которая имеет вид f~a, где а определяется уровнем надкритичности. С ростом параметра H > р** время корреляции уменьшается, при этом показатель а стремится к нулю. Вдали от точки бифуркации р* * спектр объединенного аттрактора становится практически равномерным. Г Jl Л D Л 6
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОСА
6.1. Экспериментальный подход
к исследованиям динамики нелинейных систем
В общем случае эволюционная задача применительно к нелинейной динамической системе
* = F(x, р) (6.1 )
аналитически не разрешима. Решение уравнений (6.1) может быть найдено либо численными методами на ЭВМ, либо аналоговым моделированием. При численном исследовании конкретных нелинейных систем с математической точки зрения возникают разнообразные задачи, требующие применения специальных алгоритмов и программ вычислений. Но первоочередной задачей является численное интегрирование (6.1) для нахождения зависимости .r(f. 7) при заданных начальных условиях, т.е. решение задачи Коиш. Методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, позволяют построить решение при различных значениях начальных условий и параметров. Что здесь принципиально важно, так это предоставляемая возможность исследования регулярных неустойчивых решений, которые в физических экспериментах не реализуются. Эволюция таких режимов с изменением параметра очень часто принципиально важна, так как определяет механизмы возникновения структурно устойчивых режимов, наблюдаемых экспериментально.
Численными методами находятся координаты неподвижных точек (6.1) как решение нелинейных алгебраических уравнений F(x, р ) = 0 и их зависимость от параметров. Эта задача, многократно решаемая при вариации параметров, служит основой для построения характерных бифуркационных линий в пространстве параметров системы. С помощью соответствующих методов находят отображение Пуанкаре на секущей гиперповерхности, которое наглядно иллюстрирует характер решения и весьма информативно при исследовании автостохастических режимов колебаний в системах малой размерности.
104 Алгоритмы расчета, базирующиеся на методах линейной алгебры с использованием результатов численного интегрирования, позволяют решать вопрос об устойчивости решений, их бифуркациях и тем самым исследовать процесс перестройки структуры разбиения фазового пространства на траектории с изменением параметров.
При исследовании "физических" свойств хаотических колебаний, таких, ііапример, как интегральная мощность, ее распределение по частоте, степень "случайности" процесса (автокорреляция) и других, применяются методы статистической обработки множества выборочных (усеченных) 1>еализаций Xt (г, м). позволяющие вычислять функции распределения /Н-v), коэффициент корреляции Rjc(t)r спектр мощности процесса Sje (О. интересующие моменты функции распределения р(х) (например, <х), л3 >. дисперсию и др.) и зависимость названных характеристик от параметров.
Важной задачей является исследование влияния флуктуаций па динамику системы. Под влиянием флуктуаций странный аттрактор может практически не изменять своей структуры и свойств, в то же время регулярный режим под воздействием флуктуаций может смениться хаотическим (индуцированные флуктуациями хаотические колебания). Может наблюдаться и обратная картина, странный аттрактор под действием шумов может разрушиться, сменившись регулярным режимом, а предельный цикл не изменит в целом своих свойств, если флуктуации достаточно малы. Математическое моделирование и численный анализ указанных явлений требуют формулировки и решения либо стохастических дифференциальных уравнений, когда случайное воздействие вводится в правые чясти системы (6.1) в виде генератора случайных чисел с заданной статистикой, либо соответствующего кинетического уравнения Фоккера - Планка (28-30, 92-94]. Обе последние задачи чрезвычайно тонкие и требуют привлечения аппарата статистической радиофизики.
При исследовании конкретных систем возникают самые неожиданные ситуации, поэтому перечислить все необходимые алгоритмы нет возможности и здесь рассмотрены лишь основные, позполяюшие решать типичные задачи.
Не менее важными являются и методы физических экспериментов. Принципиальная особенность физических экспериментов состоит в том, что они иллюстрируют устойчивые режимы колебаний в системе, математическая модель которой всегда является приближенной. Физический эксперимент позволяет решить вопрос об адекватности математического описания реальной системы и установить на опыте границы применимости приближенного математического описания. Если это сделано, то физический эксперимент позволяет исследовать поведение найденных численно решений с изменением параметров, наблюдать, например, странный аттрактор, а если их в фазовом пространстве несколько, го выяснить, какие из них наиболее вероятны.
