Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
*V*+1) - х*(рк) + (dx<(pk)/dp) Ар, (6.23)
где dx*/dp - "производная цикла по параметру", определяемая из уравнения
Р(рс',р)=х»(р) (6.24)
как производная неявной функции:
dx'/dp Im . Мк = (дР/др) (M-E)-K (6.25)
Таким образом находится периодическое решение системы (6.1) при различных значениях параметра р = рк. к я 0, 1,2,..., т.е.отслеживается эволюция грубого цикла в фазовом пространстве системы с изменением параметра.
На каждом шаге счета при движении по параметру вычисляются мультипликаторы цикла P1(P)-Hx зависимость от и дает исчерпывающую информацию о характере устойчивости семейства циклов Г(/и). Выход одного (или нескольких) мультипликаторов на единичную окружность приводит к бифуркационным ситуациям, подробно обсуждавшимся выше, и определяет бифуркационное значение параметра (точку бифуркации) р•, кото-
4 рое ори необходимости может быть определено с заданной степенью ТОЧНОСТИ є ¦ Решение второй задачи, базирующееся на свойстве непрерывности решений системы (6.1) от параметра, дает практически полную информацию о способе рождения (исчезновения) конкретного семейства циклов, об о Масти их существования и изменения характера устойчивости при вариации параметра р.
3- Перейдем к более общему случаю зависимости решений системы (6.1) от двух параметров:
і = F(x,p, q). (6.26)
Поставим задачу построения бифуркационных линий на плоскости параметров р и q, отвечающих определенному типу потери устойчивости семейством циклов Г(р, q) . Зафиксировав, например, р = р0 и двигаясь по параметру q вышеописанным способом (предполагается, что для значения р - ро и некоторого q цикл Г (р0 > Я) найден), определим значение q * q0, при котором наибольший из мультипликаторов цикла Г р (ро>Яо) выходит їй единичную окружность, свидетельствуя, например, о бифуркации удвоения периода (р(Ро. Я о) - - О- В этой точке плоскости параметров нам известен цикл Г (ро, Я о) и соответствующая ему неподвижная точка отображения Пуанкаре х*(р0> Яо) ш S- Точка (р0, q0) плоскости принадлежит бифуркационной линии / (в данном случае линии бифуркации удвоения периода)*), и для et уточнения необходимо проверять выполнение соответствующего бифуркационного условия. В случае удвоений р = - 1 и должно удовлетворяться уравнение
det 1#(ро. Яо) - Е) = 0. (6.27)
Для построения бифуркационной линии возьмем новое значение ^1 = = </о + Д<7 и, используя данные по неподвижной точке х* (р0, <7о) в качестве начального приближения, решим методом Ньютона уравнение
* = />(*,/>,?!) (6.28)
совместно с соответствующим бифуркационным уравнением (для удвоений это (627)) относительно X н р. В результате найдем новую бифуркационную точку (P1, <7і) Є /. Действуя подобным образом, на плоскости р, q строим бифуркационную линию, при пересечении которой семейство циклов Г(р, q) теряет устойчивость определенным образом, что зависит от вида бифуркационного уравнения.
Одно и то же семейство циклов Г (p. q) может терять устойчивость несколькими способами при различных р и q. Построение соответствующих бифуркационных линий I1 дает большую информацию о поведении системы при вариации управляющих параметров. В случаях зависимости уравнений (6.1) от р GIR*, Д;3 3,4, 5.....алгоритм допускает обобщение и позволяет строить соответствующие гиперповерхности в Vtk, отвечающие определенным типам потери устойчивости при бифуркациях коразмерности 1. Нет принципиальных трудностей и в обобщении алгоритма на бифуркацион-
*) Бифуркационные линии на плоскости или соответствующие гиперповерхности в F , выделяемые одним бифуркационным условием типа равенства, описывают бифуркации коразмерности 1.
8»
115 ные ситуации коразмерности 2 (например, построение в IR9 бифуркационной линии, соответствующей рождение резонансного двумерного тора с заданным числом вращения Пуанкаре). Однако ясно, что для подобных задач потребуется существенное увеличение машинного времени.
Создание комплекса программ, реализующих на ЭВМ описанные выше в общих чертах алгоритмы, - далеко не простая задача. Наиболее удачными, полными и надежными в эксплуатации, как показала практика, являются комилексы программ, разработанные в НИВЦ АН СССР (г. Пушино) [51,154].
С целью иллюстрации применения описанных выше алгоритмов рассмотрим процедуру построения бифуркационных линий удвоения периода циклов для одной из модельных систем Рёсслера [155]
* = -(.>> + *), у*х + еу, z~b+xz—iu, (6.29)
где параметр Ъ >0,2 зафиксируем. Вначале найдем устойчивый предельный цикл системы, выбрав значения параметров t - 0,2 и ц » 2,5. Этот цикл существует, имеет форму однооборотной кривой в фазовом пространстве (цикл периода Г0) и устойчив. Проследим за эволюцией этого шасла, двигаясь по параметру н (е - 0,2). В точке ц » 2?'.'< цикл периода Г0 претерпевает бифуркацию удвоения периода, гак ;гак его наибольший по модулю мультипликатор обращается в — 1. Теперь построим бифуркационную линию /, отвечающую условию р » - 1 на плоскости параметров е; /і.
Участок этой лнкии изображен на рис. 6.5. Используем точку иг цикле периода Го в качестве начального приближения итерационной процедуры Ньютона я попробуем найти цикл периода 2Т0 (выше бифуркационной
