Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рассмотрим результаты расчета отображения Пуанкаре для трехмерной двупараметрической системы, введенной в [1Я2].
X = y(z - 1 +X2) + ух,
X
л + 1
= ?), Я =1,2,.
(6.12)
у - х(3, + I-Jf2) + -ГУ, Z - —2z(p + ху).
(6.13)
! Де X, у, фазовые переменные, 7 и V - варьируемые параметры. Сне-
IU9 тема диссипативна при у < v и характеризуется постоянной дивергенцией 2(у - V) < 0.
На рис. 6.2а изображено двумерное сечение Пуанкаре в плоскости z = = const для у = 0,87 и v = 1,1, которое свидетельствует о преимущественном сжатии потока по х и растяжении по у. Модельное отображение, вычисленное по переменной у как |+, | = у у„ I), показано на рис. 6.26. С ростом степени сжатия это отображение приближенно можно заменить одномерным (рис. 6.2в), что существенно упрощает анализ.
Метод секущей Пуанкаре используется и при анализе динамики неавтономных систем. Введем периодическое воздействие в первое уравнение системы (6.2):
Xi = /і(*і,*2.....xN, рГ) + В sin pt,
X1 = Mx,,X2,----xN. р), і = 2,3,.. . N.
Здесь В - амплитуда гармонического воздействия, р - нормированная частота вынуждающей силы, t- безразмерное время. Число фазовых координат системы (6.14) осталось равным N. Однако в силу неавтономности системы размерность фазового пространства (6.14) стала равной N + 1. Как определить в этом случае отображение Пуанкаре?
Один из способов заключается в следующем. Как видно из (6.14), N-мерное пространство фазовых координат Xi, і = 1,. .., N, отображается в себя (т.е. точка х"~1 Є IR^ переходит в точку х^ Є IR^) спустя время, равное периоду внешней силы, /0 = 2vjp. Для случая р - 1 это время /0 = 2тг. Если выбрать шаг интегрирования Д/ = tQjk, где к - целое число, то можно запоминать значения (х" ) , соответствующие моментам времени nt0, где я = 1,2, 3,...
110 Например, ,тля р = I при шаге счета At = 2я/!0 необходимо запоминать каждую десятую точку, полученную при интегрировании (6.14). Набранный таким образом массив данных представляет собой дискретное (стробоскопическое) описание динамического процесса в системе в моменты времени, кратные периоду внешнего воздействия. В качестве секущей в данном методе выступает каждый раз новая поверхность определяемая условием
In = nt0 = 2 тгн/р, (6.15)
а отображение Пуанкаре представляется в виде дискретного набора значений фазовых координат {х") в указанные моменты времени и имеет размерность Л'. Что же делать дальше с полученным набором данных?
Рассмотрим конкретный пример. Пусть система (6.2) представляет собой двумерное (N - 2) неавтономное уравнение
xi - МхиХг,Ц) + BsinPt, x2^f2(xux2-p), (6.16)
(для простоты примем р = 1). Подобными уравнениями можно описать язление синхронизации генератора Ван дер Поля. В памяти ЭВМ в этом случае имеем набор из п пар точек {х", X2), характеризующих состояние системы (6 16) в дискретные моменты времени nto = п • 2п (п = = 1, 2, 3,...). Если изобразить это множество точек на плоскости переменных Xi х2, то получим отображение двумерного фазового пространства на себя через период внешней силы, представляющее собой проекцию множестиа точек пересечения траектории Г с секущими плоскостями на интересующую нас плоскость координат. На рис. 6.3 показан случай синхронизации на частоте внешней силы, когда начальная точка (х®, г") отображается в себя же через интервалы времени At = In.
Регулярным (периодическим) режимам, как и в автономном случае, соответствует конечное при сколь угодно больших п число точек в отображении Пуанкаре. В режиме странного аттрактора множество точек Iх'{,х") на плоскости выглядит случайным. Их число всегда равно и, так как фазовая траектория не замыкается. Это стохастическое множество может выглядеть чесьма забавным и эволюционирует с изменением пара метров системы ц. Наглядность отображения Пуанкаре при N > 2 утрачивается, и в этих случаях прибегают к построению его двумерных проекций.
Рассмотрим один из примеров, в котором указанным методом анализируется динамика неавтономной трехмерной системы [!53]
X = у. V = -0,125(*2 +3Z2U - Л.V + Bcost,
(6.17)
г = -к2 0,125(3*2 + 7a)z + B0.
В уравнениях (6.17) к2 и B0 - параметры системы. Для значений Л, = = к2 = 0,5 и B0 = 0,03 система интегрировалась для различных амплитуд В и вычислялись предельные множества в трехмерном отображении фазового пространства на себя через период внешней силы t0 = 2я.
Авторами обнаружено при этом интересное явление бифуркаций дву-периодических решений. В сечении Пуанкаре на плоскости, как уже отмечалось, двумерному тору однозначно соответствует инвариантная зам-
111 Рис. 6.3. Отображение фазовой плоскости неавтономной системы (6.16) на себя через период внешней силы в режиме синхронизации
Рис. 6.4. Предельные множества системы (6.16) в проекции стробоскопического отображения на шюскоегь: а ~ инвариантная замкнутая кривая, б. в - удвоение инвариантных кривых, г -странный аттрактор
О х
кнутая кривая, бифуркации которой адекватны бифуркациям тора. На рис. 6.4 показана эволюция инвариантной кривой в проекции трехмерного отображения Пуанкаре на плоскость переменных х, у через период внешней силы. Как видно из рис. 6.4, инвариантная замкнутая кривая с ростом интенсивности воздействия В претерпевает серию бифуркаций удвоения периода, завершающуюся рождением странного аттрактора. Бифуркация удвоения периода для двумерных торов авторами [153] при численных исследованиях, по-видимому, наблюдалась впервые. Как показали дальнейшие исследования, число удвоений двумерного тора, предшествующее рождению стохастичности, при конечных амплитудах В конечно и механизм перехода к хаосу здесь связан с закономерностями разрушения тора [13].
