Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Приближенное описание динамики отображения кольца можно получить, исследуя модельное отображение окружности (5.44), которое адекватно описывает процессы до критической точки, когда теряется взаимная однозначность отображения. Тем не менее исследования модельных отображений окружности позволили вскрыть ряд закономерностей перехода к хаосу от режима доухчастотных колебаний, получивших экспериментальное подтверждение.
Наиболее часто рассматривается отображение окружности вида
й.* . = Л, + П - (К12и)Sinn**,). (5.45)
где Л" и ? - параметры отображения. Для 0 < К < 1 отображение (5.45) является диффеоморфизмом (взаимно однозначное), однако для К > 1 обратного отображения Ф"' не существует. При К = 1 обратное отображение Ф"1 существует. HO не дифференцируемо При Ifi ¦ 0.
Гладкое взаимно однозначное отображение окружности характеризуется числом вращения Пуанкаре ф. Если преобразование характеризу. ет вращение на угол А\р = - <А>. число вращения определяется как Aifiln. В этом случае для (5.45) ф* Я. В общем случае число вращения определяется как предел:
ф= Iim [(Ifin-Ifio)In]. (5.46)
где (ifin - Ifi0) - полный угол поворота отображаемой точки Ifi0 при п итерациях отображения. Для гладких взаимно однозначных отображений окружносте этот предел существует и не зависит от задания начальной точки. Условия грубости, вид грубого отображения, а также непрерывность зависимости числа вращения от параметра установлены в [87].
Из условий существования и независимости от начальной точки предела (5.46) следует, что для иррациональных значений ф отображение окружности (5.45) не имеет неподвижных точек, а при рациональных значениях ф отображение (5.45) имеет грубые устойчивые н неустойчивые неподвижные точки кратности q. В силу грубости каждое рациональное значение ф сохраняется неизменным в некоторых областях изменения параметров, образуя горизонтальные ступеньки на графике зависимости ф от любого из параметров отображения ?h влияющего на число вращения.
Если отображение окружности не изоморфно, то предел (5.46), если он существует, становится зависящим от начальной точки, и число вращения определено здесь неоднозначно. Горизонтальные участки на графике зависимости ?0?) в этом случае взаимно перекрываются, отражая факт взаимопересечений (перекрытия) резонансных областей с различными числами вращения.
96 Поиску количественных закономерностей перехода от режима двух-частотиых колебаний к хаосу, имеющих место в модельных отображениях окружности, посвящено много работ [140-144]. Автор [143] численно исследовал последовательности резонансов с периодами, определяемыми числами Фибоначчи ип для отображения (5.45) при К < 1,ип+1 = ип + + ;<„_ і. При п -* °° число вращения ф = и„_ i/u„ имеет пределом иррациональное число о"1 - (\/5 1)/2, назьшаемое обратным золотым сечением- Установлены следующие закономерности:
Oeo -0,,^6-". (5.47)
Фи"(ifi = 0, П = и„)~и„_, ~а"Л (5.48) где П„ определялось из соотношения
ф""+1 (^= О, H = П„) = и„. (5.49)
Константы 5 и о имеют тривиальные значения (б = -а\, а = -ак) при К < 1 и нетривиальные (б = -<jj\ а = -о*, где у * 2,164, х 0,527) при К = 1. Изменение этих констант свидетельствует о разрушении инвариантной кривой. Тривиальность означает, что в области О < К < 1 значения констант а и 5 не меняются, т.е. они остаются такими же, как в случае K= 0.
На основе метода ренормгруппы экспериментальные результаты [143] получили теоретическое обоснование [140-142, 144]. Авторами введена в рассмотрение функция
Ф„ (*) = a" {<J>""+I П = П„]-М„}. (5.50)
относительно которой предположено, что она является приближением функции неподвижной точки Ф* (ifi). Тогда функция Ф* (<р) удовлетворяет функциональным уравнениям [144]
Ф*(*) = аФ*[аФ*(«"г.*)]. Ф*(*) = агФ* [а-1 Ф*(в_1 ,*)]. (5.51)
которые имеют линейное решение Ф* (дг) =х-1.В последнем случае критические константы имеют тривиальные значения.
Однако при К = 1 линейное решение не удовлетворяет (5.51). поскольку Ф(і/>) имеет теперь кубическую точку перегиба при ifi = 0. Следовательно, Ф*(х) должна быть функцией от х3. Нетривиальная функция фиксированной точки такого типа была получена численно таким же методом, что и фейгенбаумовская функция неподвижной точки при бифуркациях удвоения периода. Соответствующее собственное значение функционального уравнения, линеаризованного в окрестности этой функции неподвижной точки, дает константу б и возможность определения константы а. Теоретические результаты хорошо согласуются с экспериментальными. Значения констант б и а зависят от характера разложения числа вращения ф в цепную дробь. Они одинаковы для всех ф, у которых разложение имеет один и тот же "хвост".
Важно, что установленные свойства отображения не зависят от конкретного вида функции Ф, являясь таким образом универсальными для класса функций, имеющих кубическую точку перегиба.
7. В.С . Лнишснко
97 Универсальными свойствами характеризуется также спектр мощности отображения окружности в критической точке K = 1. В [ИЗ] обнаружена самолодобная структура спектра при значении числа вращения ф = = а'1, теоретическое обоснование которой получено впоследствии в [141]. Количественные характеристики спектра существенно зависят от числа вращения. В случае когда ф представимо в виде цепной дроби, спектр обладает свойством масштабной инвариантности, т.е. самоиодобной структурой.
