Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Наиболее простым разложением в периодическую цепную дробь характеризуется обратное золотое сечение:
ф=а~1 = 0,5(^5- 1)-(1.1.....1....).
В зтом случае частоты спектра в интервале [0, 1 ] удовлетворяют соотношению
v-\n2a~l - пі п2>п1г (5-52)
где п2 и Wi - последовательные члены одного из рядов Фибоначчи.
Хотя отображение окружности при К > 1, строго говоря, уже ие описывает адекватно хаотическое множество, возникающее в окрестности разрушившегося тора, тем не менее исследования динамики (5.45) при К > 1 обнаружили некоторые закономерности, характерные для "тор-аттракторов". В частности, установлено, что при К > 1 переход к хаосу возможен через серию бифуркаций удвоения и жестко - через перемежаемость [145]. В [146, 147] показано, что при К > 1 в отображении (5.45) возможно одновременное сосуществование двух аттракторов, что можно связывать с неоднозначностью числа вращения.
Таким образом, для исследования проблемы разрушения двумерного тора и связанных с ней вопросов о качественных и количественных закономерностях перехода к хаосу многочисленные работы по анализу динамики модельных отображений окружности оказались весьма важными.
Что касается проблемы перехода к хаосу через режимы многочастотных колебаний, т.е. перехода к хаосу через разрушение или перестройку структуры фазовых траекторий многомерных торов, то строгих результатов в этом вопросе пока нет. Кроме того, по-видимому, далеко не все вопросы о бифуркациях двумерных торов представляются сейчас теоретически ясными. Например, как следует из результатов экспериментов (13, 85, 136], двумерный тор может претерпевать по крайней мере конечную цепочку бифуркаций удвоения, которая не связана с удвоениями резонансных циклов на торе. Удваивается зргодический тор как единое целое! В итоге удвоенный тор, который топологически эквивалентен двумерному тору, может в дальнейшем разрушаться с образованием странного аттрактора в полном соответствии с выводами теории.
Имеются экспериментальные результаты о возможности реализации притягивающего трехчастотного движения и переходах к стохастичности через трехмерный тор [13, 131, 133, 134]. Подобная задача теоретически не решена, и в свете сказанного выше тщательные эксперименты в зтом направлении представляются необходимыми и чрезвычайно интересными.
98 S.S. Взаимодействие аттракторов. Перемежаемость
с ущественное свойство квазигиперболической стохастичности, как уже отмечалось, состоит в принципиальной неустранимости бифуркаций предельных множеств в квазиаттракторах с изменением параметров. Квазихаотическое поведение типичио для реальных динамических систем и требует серьезного теоретического исследования. Первоначально с таким поведением пришлось столкнуться, наблюдая в численных экспериментах эффект взаимодействия исчезающего в результате седло-узловой бифуркации предельного цикла со стохастическим режимом. Этот эффект сопровождается случайным во времени процессом смены почти периодических колебаний (ламинарных фаз движения) турбулентными вспышками (турбулентными фазами) и назван переходом к хаосу через перемежаемость [3, 4]. Такой переход было бы неверным рассматривать собственно как механизм образования хаотического аттрактора. Дело в том, что здесь имеет место типичная для квазиаттракторов ситуация: аттрактор рождается благодаря вполне определенным бифуркационным явлениям, приводящим к образованию гомоклипических структур. Однако вариация параметров приводит к бифуркациям уже сформированного аттрактора, т.е. к переходам в хаосе. В частности, возможны и наиболее ти-личны бифуркации жесткого рождения (исчезновения) множества предельных циклов внутри хаотического аттрактора. Именно внутренние бифуркационные явления и приводят к резким перестройкам структуры аттракторов, т.е. к перемежаемости и другим типам взаимодействий аттракторов.
Рассмотрим несколько типичных примеров эффекта взаимодействия аттракторов. Без потери общности предположим, что в силу преимущественного сжатия аттрактор TV-мерной системы локализован в трехмерном подпространстве и имеет размерность, близкую к двум. Тогда справедливо приближенное моделирование динамики системы одномерными необратимыми отображениями.
Пусть вид одномерного отображения в режиме стохастичности соответствует изображенному на рис. S.6 (кривая 1). Неподвижная точка периода 1 неустойчива с мультипликатором |р|> 1,601, что свидетельствует о непериодическом характере дискретной последовательности.
Пусть нелинейные свойства отображения Р(х„. ц) таковы, что с изменением р в некотором интервале mi < м < mi реализуется случай, изображенный на рис. S.6 (кривая 2), отражающий эффект касательной бифуркации: при м = производная Р'х(х°, р) = +1. При вариации параметра M в окрестности м* либо рождается, либо исчезает пара неподвижных точек в отображении (седло-узловая бифуркация). Если ввести малый параметр е = I м - Р* I и рассмотреть явления вблизи х = X0, то справедливо локальное представление
*„ + , - е + хп + g(xn), (5.53)
где хп < I. g(хп) - некоторая нелинейная функция, например g(x„) -= ox2n, c = Ip-m* |<1.
