Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Как видно из сказанной), с точки зрения возможности возникновения странного аттрактора представляется интересным п. 2 теоремы, касающийся бифуркаций в окрестности опасной петли сепартрисы седип-фокуса.
При рассмотрении дву пара метрических семейств динамических систем F(х, Jjl, /J2) рождение петли седло-фокуса представляет собой бифурка-
а2 (M) = 2 Re S1 (M)+ S3 (M) ФО.
(5.40)
88 цию коразмерности 1. Область существования петли на плоскости двух параметров есть некоторая линия /г, йі). При движении по параметрам вдоль этой линии возможны случаи вырождений, когда хроме условий существования петли P0 выполняется еще одно бифуркационное условие. Дополнительное вырождение определяет на ЛИНИИ /Г|) особые точки коразмерности 2 [122, 123], которые характеризуются тем, что являются общими для линии петли /ро и некоторых других бифуркационных линий коразмерности 1.
Укажем два возможных случая вырождений, приводящих к бифуркации коразмерности 2. Первый реали зуется при условии, когда на линии петли /рв седловая величина O1 обращается в нуль. Во втором случае при движении вдоль линии петли может произойти бифуркация смены седло-фокуса на седло (или наоборот) в особой точке с кратными собственными значениями (IntSji2 = О, S3 = и, Restt2 = р). Указанные параметрические точки коразмерности 2 в первом случае, если О - седло-фокус, приводят к наличию бесконечного числа бифуркационных линий, отвечающих кратным циклам и многообходным петлям сепаратрис, которые сгущаются к рассматриваемой точке на линии петли. Во втором случае параметрический портрет для опасной петли (oi > 0) в окрестности точки коразмерности 2 также содержит бесконечное число бифуркационных линий коразмерности 1. В частности, из данной особой точки на линии петли Ipt в область существования седло-фокуса выходит пучок счетного числа линий, отвечающих возникновению в системе многообходных петель сепаратрис. Случай о і < 0 особым здесь не является [ 122, 123].
Несмотря на то что теорема Шильникова не называет необходимых и достаточных условий рождения странного аттрактора, она указывает конкретную ситуацию, в которой имеет место появление подсистемы гиперболических траекторий, и в этом смысле является строгим математическим критерием возможности возникновения сложной динамики нелинейной системы. Факт наличия петли сепаратрисы Г0 в конкретной системе иногда можно установить аналитическими методами. Примером может служить доказательство существования петли в системе Лоренца [124]. Однако получить конкретный вид траектории и значения параметров, при которых она реализуется, в общем случае возможно лишь с применением численного интегрирования на ЭВМ. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что если гомоклиническая траектория Г0 и область ее существования в пространстве параметров найдены, то в окрестности опасной петли практически всегда имеет место странный аттрактор, который называют аттрактором Шильникова [ 125, 126].
Хотя формулировка и доказательство обсуждаемой теоремы относятся к 60-м годам, конкретные исследования роли гомоклинических траекторий в вопросе возникновения странных аттракторов появились сравнительно недавно [125, 126, 13]. Помимо экспериментальной иллюстрации теоремы, результаты этих работ свидетельствуют о том, что в механизмах рождения странных аттракторов кроме локальных бифуркаций в окрестности петли (что и изучалось Л.П. Шильниковым) существенную роль могут играть глобальные бифуркации,свойства которых отчасти могут прогнозироваться по собственным значениям линеаризованной в особой точке
89 системы, если развивать аналитический метод построения отображений, первоначально использованный Л.П. Шильниковым [127].
Интерес многих исследователей к решениям обыкновенных дифференциальных уравнений в виде гомоклиничсских траекторий различного типа резко возрос в последние годы. Дело в том, что при исследовании распределенных нелинейных сред различной природы, моделируемых уравнениями в частных производных, установлена возможность возникновения стационарных уединенных волн (имиульсов или солнтонов), распространяющихся вдоль активной среды. Сейчас стало ясно, что помимо волн простой формы в вйде импульсов с одним ярко выраженным максимумом в системе могут возникать и более сложные по форме волны. Они выглядят как импульсы с различным числом больших всплесков и осциллирующими "хвостами" или как непериодические хаотические волны [128]. Существование таких сложных по форме волн может быть обусловлено возникновением в автомодельных уравнениях решений типа петли сепаратрисы седло-фокуса и их бифуркациями.
Примером может служить математическая модель в виде диффузионных уравнений с нелинейной кинетикой, именуемая чаще системой "реакция - диффузия",
и,= F(W1JU) + Duxx. (5.41)
где * - пространственная, а / - временная переменные. В случае ограниченных решений типа стационарной бегущей волны
и (*./)»»(*-и/), (5.42)
представляющих собой некоторый стационарный профиль, движущийся вдоль оси X с постоянной скоростью и без изменения формы, система (5.41) при подстановке в нее (5.42) приводится к так называемым автомодельным уравнениям. Они представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от параметров. Если число компонент в нелинейных автомодельных уравнениях /V > 3, то в принципе может возникнуть ситуация, обсуждавшаяся выше.
