Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Х+ = с(м м*)7. 7 = In 2/ln 6. 6=4,66920... (5.34)
По аналогии с теорией фазовых переходов 2-го рода универсальный коэффициент 7 называют критическим индексом перехода к стохастичности через последовательность бифуркаций удвоения периода.
Универсальным оказывается и процесс уширения спектральных линий субгармоник с превышением порога [118]
ДсJ = C(V-V)O, 0* 2,42. (5.35)
Вследствие уширения спектральных линий (5.35) в закритической области с ростом параметра странный аттрактор постепенно "разбухает", последовательно вовлекая в область стохастичности элементы 2*-циклов (А =
= . . . , А, А - 1.....0). В физических экспериментах, как правило,
эффект фиксируется, начиная с момента стохастизации элементов 8-такт-ных циклов [13]. Универсальность в явлении уширения спектральных линий естественно ведет к универсальности в эволюции интегрального
86 спектра мощности, который в закритической области растет по закину [П9]
S1 = ] !CMIjJw = r(ju -ju*)°, о * 1,525. (5.36)
— 00
Как установлено экспериментально, переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода типичен для широкого класса нелинейных динамических систем, включая распределенные.
5.3. Динамика систем с гомоклинической кривой
состояния равновесия типа седло-фокус. Теорема Шильникова
Рассмотрим однопараметрическое семейство Fft трехмерных (как наиболее простых из класса систем со сложным поведением) гладких динамических систем
x = F(x,Jl), (5.Г7)
непрерывно зависящих от одного управляющею параметра ju (другие, если они имеются, зафиксированы). Вез потери общности можно полагать, что система уравнений (5.37) характеризуется особой точкой в начале координат, которую обозначим О. Будем считать, что система в точке О имеет грубое состояние равновесия типа седло-фокуса, сохраняющееся в некотором интервале значений управляющего параметра ju. В этом случае (5.37) можно привести к виду [53]
* = рх + изу + Р(х, .V, г),
y = -u>x + py + Q(x, y,z), (S.3H)
і = VZ + R (х, у, г),
где р, CJ и V зависят от параметра д, а Р, Q и R - аналитические функции, обращающиеся в особой точке в нуль вместе со своими первыми производными. Корни характеристического уравнения матрицы линеаризации (5.38) в точке О пусть удовлетворяют следующим условиям:
«1.2 (JU) = P(R)*/ W(JU), S3 = v(?),
(5.39)
р<0, v>0, о,Ou)= Res,.J + s3, O1(O)=AO,
где Oi (р ) - седповая величина особой точки О.
Предположим, что при ju = 0 в системе (5.38) существует гомоклиническая траектория Г0, выходящая из особой точки О и при t возвращающаяся в О. Другими словами, уравнения (5.38) при ? = О имеют особое решение в виде петли сепаратрисы седло-фокуса, причем с ненулевой седчовой величиной O1 (0) =AO. При сделанных выше предположениях справедлива теорема Шильникова, утверждающая [120, 121, 53] следующее.
1. Пусть O1 (0) < 0. Тогда из петли Го может родиться только одно устойчивое периодическое движение, если разрушение петли Г0 при ju Ф О происходит в сторону А, как показано на рис. 5.3. При разрушении Г0 в сторону В рождения цикла не происходит. В случае O1 (О) < 0 петля P0 называется неопасной.
87 <
1> к с. 5..1. Петля сепаратрисы седло-фокуса и возможные случаи ее разрушения Мий) при "шевелении" параметров системы
I?
2. Пусть Oi (O) > 0. В случае опасной петли в любой окрестности Г0 а также при ее разрушении как в сторону А, так и В, существует нетривиальное гиперболическое множество, содержащее счетное множество сед-ловых периодических движений. При некоторых условиях гиперболическое множество может быть аттрактором (странным!), однако этот факт необходимо исследовать самостоятельно. Теорема Шильникова в общем случае не позволяет сделать каких-либо конкретных выводов о наличии динамической стохастичности.
Указанное гиперболическое множество не исчерпывает всего множества траекторий, целиком лежащих в окрестности петли Г0. Отображение исследования Пуанкаре в секущей плоскости, траисверсальной к Г0, при ^=O (когда есть петля!) имеет счетное множество подков Смейла, которых при м Ф 0 остается конечное число. Бифуркационные явления в згой ситуации определяются новой седловой величиной
Если O2 (0) < 0, то однопараметрическое семейство систем Fu (5.37) для значений н из счетного множества интервалов имеет устойчивое периодическое движение, которое с изменением н претерпевает бифуркции рождения (гибели) и удвоения периода. Для о2 (0) > 0 существует счетное множество интервалов для значений ц, где Fu имеет полностью неустойчивое периодическое движение (оба мультипликатора цикла по модулю больше единицы). В обратном времени, т.е. при замене в (5.38) г на -г, этот цикл абсолютно устойчив.
Если исследуемая система имеет седло-фокус О с корнями S3 < 0 и Reiii2 > 0, т.е. характеризуется одномерным устойчивым и двумерным неустойчивым многообразиями, то для применения теоремы Шильникова необходимо произвести замену времени в (5.38) на обратное. Отметим, что замена времени на противоположное не влияет на топологию предельных множеств, которые отличаются лишь характером устойчивости.
