Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 35

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 132 >> Следующая


К настоящему времени вскрыты и изучены несколько типичных механизмов перехода к квазигинерболическому хаосу в диссина гивнмх динамических системах. Их типичность проявляется в том. что вблизи критической точки различные системы характеризуются качественными, а иногда

S'P(S)

er-LJ-l

А' в'С' D'

D О

Рис. 5.1. Образование "подковы Смейла" в отображении плоскости (е. б) и в сечении трехмерного потока при налтии гомоклиники (в)

79 и количественными едены ми закономерностями перехода вне зависимости от конкретного вида уравнений и размерности системы, которая может быть и распределенной. Некоторые из типичных механизмов рождения квазиаттракторов рассмотрены в настоящей главе.

5.2. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума

Один из типичных механизмов, реализующий переход от систем Морса -- Смеила к сисіемам с хаотическим поведением, состоит в бесконечной сходящейся последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов. Этот тип перехода наблюдается в системах со сжатием трехмерного элемента фазового объема и на начальной стадии перехода к хаосу приводит, как правило, к образованию подковы Смсйла [104]. Вблизи критической точки при условии, что степень сжатия по всем направлениям существенно превышает растяжение, локально имеющее место только по одному из собственных направлений, переход можно описать с помощью одномерных отображений.

Задолго до открытия странных аттракторов и постановки задачи о путях их возникновения математикам было хорошо известно о возможности сложного поведения во времени простых дискретных систем типа отображений окружности и отображений прямой в себя. В частности, при исследовании гладких однозначных, но необратимых одномерных отображений была установлена возможность реализации серии бифуркаций удвос ния периода циклов. Наличие каскада бифуркаций удвоения периода циклов отображения и закономерности в последовательности их реализаций непосредственно следуют из замечательной теоремы А.Н. Марковского (1%3 г.) для гладких необратимых отображений отрезка [105]. Согласно теореме закономерности сосуществования циклов отображения строго подчиняются так называемому порядку Марковского. В частности, если отображение имеет цикл периода 3, то оно имеет и счетное множество

циклов всевозможных периодов р ¦ 2* (р - 1,2.....k = 0, 1, 2, . . . ).

Отсюда сразу следует утверждение: цикл периода 3 рождает хаос.

Нужно признать, что эти фундаментальные математические результаты не были своевременно и должным образом использованы в прикладных исследованиях. Положение стало резко меняться спустя 15 лет с открытием универсальных законов, описывающих каскад сходящихся бифуркаций удвоения. В 1978 г. М. Фейгенбаум установил универса.аьные количественные закономерности перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, присущие определенному классу одномерных отображений хя+, = f(x„, ц) [106]. Класс функций fix, и) определяется требованием гладкости и невырожденности, а также возможностью квадратичной аппроксимации /(х) вблизи максимума. Такие отображения имеют вид параболы, описывая однозначное, но не взаимно однозначное, преобразование отрезка прямой в себя. Оставляя в стороне вопрос о строгом теоретическом доказательстве закона Фейгенбаума, которое рассмотрено в ряде работ [106-110], обсудим важные для приложений универсальные свойства указанного класса отображений. 80 Так как указанные свойства универсальны и не зависят от конкретного задания f(x, р), исследуем их на примере простейшего отображении л іасса Фейгенбаума, имеющего вид

.тя + 1 =p-xl = f(xn,p). (5.1)

К виду (5.1) простой заменой переменных сводятся несколько различных .•нстем, наиболее популярны из которых следующие:

-Vrt + і = 1 -M*a, дгя + 1 =4рх„(\ ~х„).

Отображение (5.1) представляет собой однопараметрическое семейство кривых типа перевернутой параболы с квадратичным максимумом в !очке Xk = 0. Найдем цикл отображения (5 1) периода 1 г. исследуем его ні устойчивость. Неподвижная точка в положительном квадранте будет

•V» = — (1/2) + і(1/4 + м)1'2 I (5.2)

(вторая неподвижная точка всегда неустойчива). Мультипликатор P1 (р) цикла периода 1

PiiU) = fx (х0.р) = -2*0 = 1 -2 1(1/4 +р)1'2 I. (5.3)

Чикл устойчив для значений р в интервале

0,25 < р < 0,75, (5.4)

P котором IPiOO I < 1. При р = M0 = 0.75 Pj(Mo) = -1 и имеет место бифуркация удвоения перио.ча цикла. Рождается устойчивый цикл периода 2, или 2-цикн. Найдем этот цикл, решая систему двух уравнений для элементов 2-цикла,

x1 = р - xi, x2=p- T,2. (5.5)

Получим

Jc1 = (1/2) +I (д-3/4)"2 I. jfj - (1/2)- 1(м-3/4)' /2|. (5.6)

Никл периода 2 устойчив в области значений параметра 0,75 < и < 1,25, гак как мультипликатор 2-цикла равен

P2(M) = fx(x ^fx(Xi) = 4(1 -р,.

В бифуркационной точке Mi =1,-5 2-цикл теряет устойчивость через удвоение и мягко рождается устойчивы;; 4-цикл. Продолжив численно процедуру расчета бифуркационных значений ик (к = 2,3...), увидим, что последовательность [Pu) накапливается к некоторой критической точке р = р* = = і.40115 . . .: ц0 = 0,75, и. = 1,25, р2 = 1,368099, д, = 1,394046, M4 = ~ і ,399637 и т.д.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed